3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.

	Т0	Т1	L	M	S
0	+	-	+	+	-
1	-	+	+	+	-
x1x2	+	+	-	+	-
x1x2	+	-	+	-	-

Согласно критериальной таблице, полной является и система {1, x₁x₂, x₁x₂}. Константа 0 введена в эту систему для удобства, тогда мы можем записать полином Жегалкина в виде, где аравны 0, если члены хх...х, в полиноме отсутствуют.

4. Выясним, полна ли система . Составим критериальную таблицу, очевидно . Чтобы показать, что , достаточно найти одну функцию и . Возьмем , удовлетворяющую требуемым условиям. Если f S\T₀, то f(0, ..., 0) = 1, f(1, ..., 1)=0, следовательно, fM, fT₁. Рассмотрим функцию h = x₁x₂x₂x₃x₁x₃=1, набор ее значений (11101000), hS\T₀, но hL. Следовательно, критериальная таблица имеет вид:

	Т0	Т1	L	M	S
LT1	-	+	+	-	-
S\T0	-	-	-	+	-

и А – полная система функций.

Определение. Система функций {f₁, ..., f_s, ...} называется базисом в Р₂,если она полна в Р₂, но любая ее подсистема не будет полной. Например, система функций {x₁&x₂, 0, 1, x₁x₂x₃} – базис.

Теорема о достаточности четырех функций.

Из любой полной в Р₂ системы функций можно выделить полную подсистему, состоящую не более чем из четырех функций.

Доказательство. Пусть {f₀, f₁, f_L, f_M, f_S} – полная система функций, тогда она не лежит целиком ни в одном из классов T₀, T₁, L, M, S. Следовательно, в системе есть функции f₀T₀, f₁T₁, f_LL, f_SS и f_mM. Система {f₀, f₁, f_L, f_M, f_S}  P₂ и образует полную систему в Р₂. Рассмотрим функцию f₀: f₀(0, ..., 0) = 1.

Если f₀(1, ..., 1) = 0, то f₀T₁ и f₀M, тогда {f₀, f_S, f_L} – полная система из трех функций.

Если f₀(1, ..., 1) = 1, то f₀S и {f₀, f₁, f_L, f_M } образует полную систему из четырех функций.

Пример 1, приведенный выше, показывает, что цифру 4 в общем случае уменьшить нельзя, из полной системы {x₁x₂,0,1,x₁x₂x₃} нельзя выделить полную подсистему.

Следствие. Базис в Р₂ может состоять максимум из четырех функций.

2.7. Функции k - значной логики

Введем обозначение: E_к={0, 1, 2, ..., k–1}.

Функция k-значной логики, зависящая от n переменных, – это закон, отображающий. Множество функций k-значной логики обозначается как Р_k. Функция из Р_k полностью определена, если задана ее таблица истинности, т.е. заданы значения на всех наборах. Наборы можно рассматривать как записи в k-ичной системе счисления чисел от 0 до k–1, всего наборов kⁿ. Функций из Р_k, зависящих от n переменных, будет kⁿ. |P₃(n)|, например, будет 3, если n = 2, то |P₃(2)| = 3⁹ = 19683 (k=3, n=2).

x1 x2 . . . xn-1 xn	f
0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 k–1 0 0 . . . 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k–1 k–1 . . . k–1 k–1	. . . . . . .

В k - значной логике также есть функции, которые называются элементарными. Приведем некоторые из них, примеры будем приводить для k = 3 и n = 2.

1. Циклический сдвиг или отрицание Поста: = x+1(mod k).

2. Зеркальное отображение или отрицание Лукосевича: N_x = k–1–x.

Эти две функции являются обобщением отрицания.

3. J_i(x)=x = i, I = 0, 1, 2, ..., k–1}.

x1	x2	Nx	J0(x)	J1(x)	J2(x)
0 1 2	1 2 0	2 1 0	2 0 0	0 2 0	0 0 2

4. min(x₁,x₂) – обобщение конъюнкции;

5. x₁x₂(mod k) – второе обобщение конъюнкции;

6. max(x₁,x₂) – обобщение дизъюнкции;

7. x₁+x₂(mod k) – сумма по mod k.

x1	x2	min(x1,x2)	x1x2(mod 3)	max(x1x2)	x1+x2(mod 3)
0 0 0 1 1 1 2 2 2	0 1 2 0 1 2 0 1 2	0 0 0 0 1 1 0 1 2	0 0 0 0 1 2 0 2 1	0 1 2 1 1 2 2 2 2	0 1 2 1 2 0 2 0 1

Принято min(x₁,x₂) обозначать x₁&x₂, max(x₁,x₂) обозначать x₁x₂.

Как и в двузначной логике, можно ввести понятие формулы над множеством и ставить вопрос о полной в Р_k системе функций.