Задача 2

Задан импульс Гаусса , и определено (см. задачу 1). Необходимо:

а) определить интервал дискретизации , привести таблицу отсчетов , построить график дискретного сигнала ;

б) определить частоту дискретизации и построить график амплитудного спектра отсчетов для области частот . Показать на графике граничные частоты полосы пропускания и полосы задержки фильтра, который восстанавливает сигнал по отсчетам;

в) представить схемы аналого-цифрового преобразователя (АЦП) и цифро-аналогового преобразователя (ЦАП); объяснить принцип аналого-цифрового и цифро-аналогового преобразований; представить сигнал цифровым сигналом, определить длительность двоичного символа .

Решение

а) Расчет интервала дискретизации и отсчетов сигнала

Согласно теореме Котельникова во время дискретизации сигнала интервал дискретизации не превышает значения , где – максимальная частота спектра сигнала . Значение найдено в задаче 1. Рациональным будет выбрать .

Отсчеты сигнала – это значения , где ; , – номера граничных отсчетов, которые определяются из условий, что при и при значения меньше чем половина шага квантования . Поскольку заданный сигнал – четная функция, то

В задаче 1 найдено значение максимальной частоты спектра сигнала : . Тогда мс. Примем мс. Рассчитаем отсчеты сигнала , аналитическое выражение которого приведенного в задаче 1 (1). Рассчитанные отсчеты представлены таблице 2.1.

График дискретного сигнала , построенного на основании рассчитанных отсчетов, приведено на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – График дискретного сигнала

Таблица 2.1 – Отсчеты сигнала, квантования и кодирования уровней квантования

	, мс	, мВ			, мВ	, мВ	Кодовые комбинации
-3	-13,5	0,4	0,8	1	0,5	0,1	00001
-2	-9,0	2,4	4,8	5	2,5	0,1	00101
-1	-4,5	7,0	14	14	7	0	01110
0	0	10	20	20	10	0	10100
1	4,5	7,0	14	14	7	0	01110
2	9,0	2,4	4,8	5	2,5	0,1	00101
3	13,5	0,4	0,8	1	0,5	0,1	00001

б) Построение графика спектра дискретного сигнала

Для построения графика достаточно помнить, что спектральная плотность отсчетов – это сумма периодических повторений с периодом частоты дискретизации спектральной плотности непрерывного сигнала умноженная на (частота дискретизации – величина, обратная интервалу дискретизации):

(2.1)

В задании б) задачи 1 найдена спектральная плотность непрерывного сигнала, а интервал дискретизации – в задании а) задачи 2. частота дискретизации Гц. Для удобства возьмем Гц.

Построим график спектральной плотности для положительных частот путем нанесения точек графика рис. 1.2 – это будет составляющая ряда с . Потом строим два смещенных вправо на и графика – это будут составляющие ряда с и соответственно. Амплитудный спектр дискретного сигнала рассчитывается как модуль суммы значений трех графиков. Расчеты проводятся в области . Результаты расчетов представлены на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Спектр дискретного сигнала

На рисунке 2.3 показана АЧХ ФНЧ, который используется для восстановления непрерывного сигнала по отсчетам. Его параметры – граничные частоты полосы пропускания и полосы задержки . Эти параметры выбираются из условий: , .

Гц, Гц.

Рисунок 2.3 – Спектр дискретного сигнала и АЧХ восстанавливающего ФНЧ

в) Представление непрерывного сигнала цифровым сигналом

Схема аналого-цифрового преобразователя (АЦП) должна иметь дискритезатор, квантователь и кодер отсчетов, а схема цифроаналогового преобразователя (ЦАП) – декодер и ФНЧ.

Для представления непрерывного сигнала цифровым сигналом необходимо выполнить квантование отсчетов и кодирование их двоичным кодом. В результате равномерного квантования квантованные отсчеты принимают только лишь значения, кратные шагу квантования : , где – целое число, уровень квантования. Квантование – замена отсчета ближайшим квантованным значением , которое однозначно описывается числом . При таком приближенном представлении отсчетов возникает ошибка квантования . Ее значение по модулю не превышает половины шага: . Расчет уровней квантования выполняется по соотношению

(2.2)

где – целое от .

Кодирование уровней квантования заключается в записи в двоичной системе счисления. Код должен быть равномерным, то есть все кодовые комбинации должны иметь одинаковое количество двоичных символов. Длина кода – это целое число, которое выбирается из условий, что , где – количество уровней квантования; и – возможные соответственно максимальное и минимальное значение сигнала .

Длительность двоичного символа определяется простым соотношением .

Выполним квантование рассчитанных отсчетов, с условием, что шаг квантования мВ, и кодирование уровней квантования. Сигнал имеет мВ и , откуда

(2.3)

Из условий, что , длина кода .

Результаты расчетов приведены в таблице 2.1.

На рисунке 2.4 представлена соответственная временная диаграмма цифрового сигнала.

Длительность двоичного символа мс.

Рисунок 2.4 – Представление данного сигнала в цифровой форме