Функции алгебры логики

Значение формулы алгебры логики полностью зависит от значений входящих в нее высказываний. Поэтому такая формула может считаться функцией входящих в нее элементарных высказываний. Например, (x  y)   z является функцией f(x, y, z). Естественно, значения этой функции и входящих в нее элементов могут принимать значения истина или ложь. Тождественно истинные или тождественно ложные функции представляют собой константы.

Каждую функцию алгебры логики можно записать в виде формулы или представить таблицей истинности. Как уже было отмечено выше, таблица истинности для n переменных содержит 2ⁿ строк. Следовательно, каждая функция алгебры логики принимает 2ⁿ значений, состоящих из 0 или 1. Общее же число наборов значений, состоящих из 0 и 1, длины 2ⁿ равно 2²ⁿ. В частности, число различных функций от одной переменной равно четырем.

х	f1(x)	f2(x)	f3(x)	F4(x)
0	1	1	0	0
1	1	0	1	0

Из этой таблицы следует, что две функции являются константами f₁(x) = 1 и – f₂(x) = x, а остальные f₃(x) =  x и f₄(x) = 0.

Представление произвольной логической функции в виде формулы алгебры логики

Пусть с помощью таблицы истинности задана произвольная функция алгебры логики n переменных F(x₁, x₂, …, x_n). Рассмотрим формулу:

F(1, 1, …, 1)  x₁  x₂  …  x_n 

 F(1, 1, …, 1, 0)  x₁  x₂  …  x_n-1   x_n  (1)

 F(1, 1, …, 0, 1)  x₁  x₂  …   x_n-1  x_n 

 F(0, 0, …, 0)   x₁   x₂  …   x_n

которая составлена следующим образом: каждое слагае­мое этой логической суммы представляет собой конъюн­кцию, в которой первый член является значением функ­ции F при некоторых определенных значениях ее перемен­ных, остальные же члены конъюнкции пред­ставляют собой сами переменные или их отрицания. При этом под знаком отрицания находятся те и только те пере­менные, которые в первом члене конъюнкции имеют зна­чение 0.

Ясно, что формула (1) полностью определяет функ­цию F. Иначе говоря, значения функции F и формулы (1) совпадают на всех наборах значений пере­менных x_i. Например, если x₁ принимает значение 0, а осталь­ные переменные принимают значение 1, то функция F принимает значение F(0, 1, 1, …, 1). При этом логическое слагаемое F(0, 1, …, 1)   x₁  x₂  …  x_n = F(0, 1, …, 1)   0  1  …  1, входящее в форму­лу (1), принимает также значение F(0, l,..., l), а все ос­тальные логические слагаемые формулы (1) имеют зна­чение 0. Действительно, в них знаки отрицания перед переменными распределяются иначе, чем в рассмотрен­ном слагаемом. Таким образом, при подстановке вместо переменных тех же значений в конъюнкцию войдет символ 0 без знака от­рицания, а символ 1 под знаком отрицания. В таком слу­чае один из членов конъюнкции будет иметь значение 0, и по­этому вся конъюнкция также будет иметь значение 0. В связи с этим на основании закона x  0 = x значением фор­мулы (1) является F(0, l,..., l).

Ясно, что вид формулы (1) может быть значительно упрощен, если в ней отбросить те логические слагаемые, в которых первый член конъюнкции имеет значение 0 (и, следовательно, вся конъюнкция имеет значение 0). Если же в логическом слагаемом первый член конъюнк­ции (то есть определенное значение функции F) имеет значение 1, то, пользуясь законом 1  х = x, этот член конъюнкции можно не выписывать.

Таким образом, в результате получается формула (1), которая содержит только элементарные переменные выс­казывания и обладает следующими свойствами:

• каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x₁, x₂, …, x_n),

• все логические слагаемые формулы различны,

• ни одно логическое слагаемое формулы не содер­жит одновременно переменную и ее отрицание,

• ни одно логическое слагаемое формулы не содер­жит одну и ту же переменную дважды,

Перечисленные свойства будем называть свойства­ми совершенства или, коротко, свойствами. Из приведенных рассуждений видно, что каждой не тождественно ложной функции соответствует единствен­ная формула указанного вида.

Если функция F(x₁, x₂, …, x_n) задана таблицей ис­тинности, то соответствующая ей формула алгебры ло­гики может быть получена просто. Действительно, для каждого набора значений переменных, на котором фун­кция F(x₁, x₂, …, x_n) принимает значение 1, записывается конъюнкция элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции х_k, если значение x_k на ука­занном наборе значений переменных фун­кции F есть 1 и  х, если значение x_k есть 0. Дизъюнкция всех записан­ных конъюнкций и будет искомой формулой.

Пусть, например, функция F(x₁, x₂, x₃) имеет следу­ющую таблицу истинности:

x1	X2	x3	F(x1, x2, x3)
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

Для наборов значений переменных (1, 1, 0), (1,0,1), (0,1,0), (0, 0, 0), на которых функция принимает значение 1, запишем конъюнкции x₁  x₂   x₃, x₁   x₂  x₃,  x₁  x₂   x₃,  x₁   x₂   x₃. а искомая формула, обладающая свойствами совершенства, будет иметь вид:

x₁  x₂   x₃  x₁   x₂  x₃   x₁  x₂   x₃   x₁   x₂   x₃.