Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = a_nPⁿ + a_n-1Pⁿ-1 + ... + a₁P1 + a0P0 + a-1P-1 + ... + a_-mP^-m

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

 

Примеры решения задач

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а) 464₍₁₀₎; б) 380,1875₍₁₀₎; в) 115,94₍₁₀₎ (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

Решение.

464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94

232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88

116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76

58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52

а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04

14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08

7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16

3 | 1 2 | 0

1 | 1 1 | 1

а) 464₍₁₀₎ = 111010000₍₂₎; б) 380,1875₍₁₀₎ = 101111100,0011₍₂₎; в) 115,94₍₁₀₎  1110011,11110₍₂₎ (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 2³). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах.

P	2	00	01	10	11
	4	0	1	2	3

P	2	000	001	010	011	100	101	110	111
	8	0	1	2	3	4	5	6	7

P	2	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
	16	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Переведем из двоичной системы в восьмеричную число 1111010101,11₍₂₎.

001 111 010 101,110₍₂₎ = 1725,6₍₈₎.

Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101,11₍₂₎.

0011 1101 0101,1100₍₂₎ = 3D5,C₍₁₆₎.

Соответствие между шестнадцатеричными цифрами и десятичными числами
16	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

Некоторые неотрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления)
Показатель	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Степень	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768	65536

Некоторые отрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления)
Показатель	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7
Степень	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,03125	0,015625	0,0078125

а) 1000001₍₂₎.

1000001₍₂₎=1 2⁶+0 2⁵+0 2⁴+0 2³+0 2²+ 0 2¹+1 2⁰ = 64+1=65₍₁₀₎.

Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

б) 1000011111,0101₍₂₎.

1000011111,0101₍₂₎=12⁹ + 12⁴ + 12³ + 12² + 12¹ + 12⁰ + 12^-2 + 12^-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125₍₁₀₎.

Некоторые неотрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления)
Показатель	0	1	2	3	4
Степень	1	8	64	512	4096

Некоторые отрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления)
Показатель	-1	-2
Степень	0,125	0,015625

в) 1216,04₍₈₎.

1216,04₍₈₎=18³+28²+18¹+68⁰+4 8^-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,0625₍₁₀₎.

Некоторые неотрицательные степени числа 16 (в десятичной системе счисления)
Показатель	0	1	2	3	4
Степень	1	16	256	4096	65536

Некоторые отрицательные степени числа 16 (в десятичной системе счисления)
Показатель	-1	-2
Степень	0,0625	0,00390625

г) 29A,5₍₁₆₎.

29A,5₍₁₆₎ = 216²+916¹+1016⁰+516^-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,3125₍₁₀₎.

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Для P = 2, 8 и 16 таблицы представлены ниже.

+     0     1   0 0 1 1 1 10

   0     1   0 0 0 1 0 1

+   0   1   2   3   4   5   6   7  0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 7 10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6 6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16

  0   1   2   3   4   5   6   7  0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 10 12 14 16 3 0 3 6 11 14 17 22 25 4 0 4 10 14 20 24 30 34 5 0 5 12 17 24 31 36 43 6 0 6 14 22 30 36 44 52 7 0 7 16 25 34 43 52 61

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

    

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

3. Сложить числа: а) 10000000100₍₂₎ + 111000010₍₂₎ = 10111000110₍₂₎. б) 223,2₍₈₎ + 427,54₍₈₎ = 652,74₍₈₎. в) 3B3,6₍₁₆₎ + 38B,4₍₁₆₎ = 73E,A₍₁₆₎.

10000000100 223,2 3B3,6

+ 111000010 + 427,54 +38B,4

------------ ------- -----

10111000110 652,74 73E,A

 Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления. Для этого переведем каждое слагаемое и сумму в десятичную систему счисления, выполним сложение слагаемых в десятичной системе счисления. Результат должен совпасть с суммой.

 а) 10000000100₍₂₎=12¹⁰+1 2² = 1024+4=1028₍₁₀₎

111000010₍₂₎=12⁸+ 12⁷+ 12⁶+ 12¹ =  256+128+64+2 = 450₍₁₀₎

10111000110₍₂₎=12¹⁰+ 12⁸+ 12⁷+ 12⁶+ 12²+ 12¹ =  1024+256+128+64+4+2 = 1478₍₁₀₎

1028₍₁₀₎+450₍₁₀₎ = 1478₍₁₀₎

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в двоичной системе счисления выполнены верно!

 

б) 223,2₍₈₎=28²+ 28¹+ 38⁰+ 28^-1 =  128+16+3+0,25 = 147,25₍₁₀₎

427,54₍₈₎= 48²+ 28¹+ 78⁰+ 58^-1+ 48^-2 =  256+16+7+0,625+0,0625 = 279,6875₍₁₀₎

652,74₍₈₎= 68²+ 58¹+ 28⁰+ 78^-1+ 48^-2 =  384+40+2+0,875+0,0625 = 426,9375₍₁₀₎

147,25₍₁₀₎+279,6875₍₁₀₎ = 426,9375₍₁₀₎

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в восьмеричной системе счисления выполнены верно!

 

в) 3B3,6₍₁₆₎= 316²+ 1116¹+ 316⁰+ 616^-1 =  768+176+3+0,375 = 947,375₍₁₀₎

38B,4₍₁₆₎= 316²+ 816¹+ 1116⁰+ 416^-1 =  768+128+11+0,25 = 907,25₍₁₀₎

73E,A₍₁₆₎= 78²+ 38¹+ 148⁰+ 108^-1 =  1792+48+14+0,625 = 1854,625₍₁₀₎

947,375₍₁₀₎+907,25₍₁₀₎ = 1854,625₍₁₀₎

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в шестнадцатеричной системе счисления выполнены верно!

 

4. Выполнить вычитание: а) 1100000011,011₍₂₎ - 101010111,1₍₂₎ = 110101011,111₍₂₎. б) 1510,2₍₈₎ - 1230,54₍₈₎ = 257,44₍₈₎. в) 27D,D8₍₁₆₎ - 191,2₍₁₆₎ = EC,B8₍₁₆₎.

1100000011,011 1510,2 27D,D8

- 101010111,1 -1230,54 -191,2

-------------- ------- ------

110101011,111 257,44 EC,B8

5. Выполнить умножение: а) 100111₍₂₎  1000111₍₂₎ = 101011010001₍₂₎. б) 1170,64₍₈₎  46,3₍₈₎ = 57334,134₍₈₎. в) 61,A₍₁₆₎  40,D₍₁₆₎ = 18B7,52₍₁₆₎.

100111 1170,64 61,A

*1000111 * 46,3 *40,D

------------- -------------- ----------

100111 355 234 4F 52

+ 100111 + 7324 70 + 1868

100111 47432 0 ----------

100111 ------------- 18B7,52

------------- 57334,134

101011010001

6. Выполнить деление: а) 100110010011000₍₂₎ : 101011₍₂₎=111001000₍₂₎; б) 46230₍₈₎ : 53₍₈₎=710₍₈₎; в) 4C98₍₁₆₎ : 2B₍₁₆₎=1C8₍₁₆₎.

Тема 2. Измерение информации

2.1. Подходы к измерению информации

При всем многообразии подходов к определению понятия информации, с позиций измерения информации нас интересуют два из них: определение К. Шеннона, применяемое в математической теории информации, и определение А. Н. Колмогорова, применяемое в отраслях информатики, связанных с использованием компьютеров (computer science).      В содержательном подходе возможна качественная оценка информации: новая, срочная, важная и т.д. Согласно Шеннону, информативность сообщения характеризуется содержащейся в нем полезной информацией - той частью сообщения, которая снимает полностью или уменьшает неопределенность какой-либо ситуации. Неопределенность некоторого события - это количество возможных исходов данного события. Так, например, неопределенность погоды на завтра обычно заключается в диапазоне температуры воздуха и возможности выпадения осадков.      Содержательный подход часто называют субъективным, так как разные люди (субъекты) информацию об одном и том же предмете оценивают по-разному. Но если число исходов не зависит от суждений людей (случай бросания кубика или монеты), то информация о наступлении одного из возможных исходов является объективной.      Алфавитный подход основан на том, что всякое сообщение можно закодировать с помощью конечной последовательности символов некоторого алфавита. С позиций computer science носителями информации являются любые последовательности символов, которые хранятся, передаются и обрабатываются с помощью компьютера. Согласно Колмогорову, информативность последовательности символов не зависит от содержания сообщения, а определяется минимально необходимым количеством символов для ее кодирования. Алфавитный подход является объективным, т.е. он не зависит от субъекта, воспринимающего сообщение. Смысл сообщения учитывается на этапе выбора алфавита кодирования либо не учитывается вообще. На первый взгляд определения Шеннона и Колмогорова кажутся разными, тем не менее, они хорошо согласуются при выборе единиц измерения.

2.2. Единицы измерения информации

Решая различные задачи, человек вынужден использовать информацию об окружающем нас мире. И чем более полно и подробно человеком изучены те или иные явления, тем подчас проще найти ответ на поставленный вопрос. Так, например, знание законов физики позволяет создавать сложные приборы, а для того, чтобы перевести текст на иностранный язык, нужно знать грамматические правила и помнить много слов.      Часто приходится слышать, что сообщение или несет мало информации или, наоборот, содержит исчерпывающую информацию. При этом разные люди, получившие одно и то же сообщение (например, прочитав статью в газете), по-разному оценивают количество информации, содержащейся в нем. Это происходит оттого, что знания людей об этих событиях (явлениях) до получения сообщения были различными. Поэтому те, кто знал об этом мало, сочтут, что получили много информации, те же, кто знал больше, чем написано в статье, скажут, что информации не получили вовсе. Количество информации в сообщении, таким образом, зависит от того, насколько ново это сообщение для получателя.      Однако иногда возникает ситуация, когда людям сообщают много новых для них сведений (например, на лекции), а информации при этом они практически не получают (в этом нетрудно убедиться во время опроса или контрольной работы). Происходит это оттого, что сама тема в данный момент слушателям не представляется интересной.      Итак, количество информации зависит от новизны сведений об интересном для получателя информации явлении. Иными словами, неопределенность (т.е. неполнота знания) по интересующему нас вопросу с получением информации уменьшается. Если в результате получения сообщения будет достигнута полная ясность в данном вопросе (т.е. неопределенность исчезнет), говорят, что была получена исчерпывающая информация. Это означает, что необходимости в получении дополнительной информации на эту тему нет. Напротив, если после получения сообщения неопределенность осталась прежней (сообщаемые сведения или уже были известны, или не относятся к делу), значит, информации получено не было (нулевая информация).      Если подбросить монету и проследить, какой стороной она упадет, то мы получим определенную информацию. Обе стороны монеты "равноправны", поэтому одинаково вероятно, что выпадет как одна, так и другая сторона. В таких случаях говорят, что событие несет информацию в 1 бит. Если положить в мешок два шарика разного цвета, то, вытащив вслепую один шар, мы также получим информацию о цвете шара в 1 бит. Единица измерения информации называется бит (bit) - сокращение от английских слов binary digit, что означает двоичная цифра.      В компьютерной технике бит соответствует физическому состоянию носителя информации: намагничено - не намагничено, есть отверстие - нет отверстия. При этом одно состояние принято обозначать цифрой 0, а другое - цифрой 1. Выбор одного из двух возможных вариантов позволяет также различать логические истину и ложь. Последовательностью битов можно закодировать текст, изображение, звук или какую-либо другую информацию. Такой метод представления информации называется двоичным кодированием (binary encoding).      В информатике часто используется величина, называемая байтом (byte) и равная 8 битам. И если бит позволяет выбрать один вариант из двух возможных, то байт, соответственно, 1 из 256 (2⁸). В большинстве современных ЭВМ при кодировании каждому символу соответствует своя последовательность из восьми нулей и единиц, т. е. байт. Соответствие байтов и символов задается с помощью таблицы, в которой для каждого кода указывается свой символ. Так, например, в широко распространенной кодировке Koi8-R буква "М" имеет код 11101101, буква "И" - код 11101001, а пробел - код 00100000.      Наряду с байтами для измерения количества информации используются более крупные единицы:      1 Кбайт (один килобайт) = 2¹⁰ байт = 1024 байта;      1 Мбайт (один мегабайт) = 2¹⁰ Кбайт = 1024 Кбайта;      1 Гбайт (один гигабайт) = 2¹⁰ Мбайт = 1024 Мбайта.

В последнее время в связи с увеличением объёмов обрабатываемой информации входят в употребление такие производные единицы, как:      1 Терабайт (Тб) = 1024 Гбайта = 2⁴⁰ байта,      1 Петабайт (Пб) = 1024 Тбайта = 2⁵⁰ байта.      Рассмотрим, как можно подсчитать количество информации в сообщении, используя содержательный подход.      Пусть в некотором сообщении содержатся сведения о том, что произошло одно из N равновероятных событий. Тогда количество информации х, заключенное в этом сообщении, и число событий N связаны формулой: 2^x = N. Решение такого уравнения с неизвестной х имеет вид: x=log₂N. То есть именно такое количество информации необходимо для устранения неопределенности из N равнозначных вариантов. Эта формула носит название формулы Хартли. Получена она в 1928 г. американским инженером Р. Хартли. Процесс получения информации он формулировал примерно так: если в заданном множестве, содержащем N равнозначных элементов, выделен некоторый элемент x, о котором известно лишь, что он принадлежит этому множеству, то, чтобы найти x, необходимо получить количество информации, равное log₂N.      Если N равно целой степени двойки (2, 4, 8, 16 и т.д.), то вычисления легко произвести "в уме". В противном случае количество информации становится нецелой величиной, и для решения задачи придется воспользоваться таблицей логарифмов либо определять значение логарифма приблизительно (ближайшее целое число, большее ).      При вычислении двоичных логарифмов чисел от 1 до 64 по формуле x=log₂N поможет следующая таблица.

N	x	N	x	N	x	N	x
1	0,00000	17	4,08746	33	5,04439	49	5,61471
2	1,00000	18	4,16993	34	5,08746	50	5,64386
3	1,58496	19	4,24793	35	5,12928	51	5,67243
4	2,00000	20	4,32193	36	5,16993	52	5,70044
5	2,32193	21	4,39232	37	5,20945	53	5,72792
6	2,58496	22	4,45943	38	5,24793	54	5,75489
7	2,80735	23	4,52356	39	5,28540	55	5,78136
8	3,00000	24	4,58496	40	5,32193	56	5,80735
9	3,16993	25	4,64386	41	5,35755	57	5,83289
10	3,32193	26	4,70044	42	5,39232	58	5,85798
11	3,45943	27	4,75489	43	5,42626	59	5,88264
12	3,58496	28	4,80735	44	5,45943	60	5,90689
13	3,70044	29	4,85798	45	5,49185	61	5,93074
14	3,80735	30	4,90689	46	5,52356	62	5,95420
15	3,90689	31	4,95420	47	5,55459	63	5,97728
16	4,00000	32	5,00000	48	5,58496	64	6,00000

При алфавитном подходе, если допустить, что все символы алфавита встречаются в тексте с одинаковой частотой (равновероятно), то количество информации, которое несет каждый символ (информационный вес одного символа), вычисляется по формуле: x=log₂N, где N - мощность алфавита (полное количество символов, составляющих алфавит выбранного кодирования). В алфавите, который состоит из двух символов (двоичное кодирование), каждый символ несет 1 бит (2¹) информации; из четырех символов - каждый символ несет 2 бита информации(2²); из восьми символов - 3 бита (2³) и т.д. Один символ из алфавита мощностью 256 (2⁸) несет в тексте 8 битов информации. Как мы уже выяснили, такое количество информации называется байт. Алфавит из 256 символов используется для представления текстов в компьютере. Один байт информации можно передать с помощью одного символа кодировки ASCII. Если весь текст состоит из K символов, то при алфавитном подходе размер содержащейся в нем информации I определяется по формуле: , где x - информационный вес одного символа в используемом алфавите.      Например, книга содержит 100 страниц; на каждой странице - 35 строк, в каждой строке - 50 символов. Рассчитаем объем информации, содержащийся в книге.      Страница содержит 35 x 50 = 1750 байт информации. Объем всей информации в книге (в разных единицах):      1750 x 100 = 175000 байт.      175000 / 1024 = 170,8984 Кбайт.      170,8984 / 1024 = 0,166893 Мбайт.