Решение.
Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид (6):
или
откуда следует, что матрица А имеет два собственных значения . Собственный вектор Х1, соответствующий , определяется из системы уравнений вида (7):
или
которая сводится к одному уравнению . Полагая , получаем решение в виде Следовательно, первый собственный вектор есть .
Второй собственный вектор Х2 , соответствующий собственному значению , определяется из системы уравнений вида (7):
Эта система уравнений также сводится к одному уравнению ; полагая , получаем решение в виде Следовательно, первый собственный вектор есть .
Таким образом, матрица А имеет два собственных различных значения и два собственных вектора, равных и .
Контрольные вопросы
-
Что называется вектором?
-
Какие операции над векторами можно выполнять?
-
Дайте определение координаты вектора.
-
Что называется модулем вектора?
-
Дайте определение направляющим косинусам вектора.
-
Что называется проекцией вектора на ось?
-
Дайте определение скалярного произведения векторов.
-
Сформулируйте свойства скалярного произведения векторов.
-
С помощью каких формул можно вычислить скалярное произведение векторов?
-
Приведите формулы вычисления длины вектора и угла между векторами в координатной форме.
-
Сформулируйте условие ортогональности двух векторов.
-
Дайте определение векторного произведения векторов.
-
Сформулируйте свойства векторного произведения векторов.
-
Сформулируйте условие коллинеарности двух векторов.
-
Коллинеарны ли векторы и , если коллинеарны векторы и ?
-
Докажите, что векторное произведение не изменится, если к одному из множителей прибавить вектор, коллинеарный другому множителю.
-
Чему равно векторное произведение противоположных векторов?
-
Равносильны ли равенства и ?
-
Дайте определение смешанного произведения векторов.
-
Сформулируйте условие компланарности векторов.
-
Докажите, что для любых заданных векторов векторы компланарны.
-
Покажите, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда.
-
Дайте геометрическое построение разложения вектора на два компланарных с ним слагаемых, если известны:
а) длина и направление одного слагаемого;
б) направление обоих слагаемых;
в) направление одного и длина другого слагаемого.
Исследовать, когда разложение возможно, сколько имеет решений, если ни одно из слагаемых не параллельно .
-
Дайте определение линейного оператора.
-
Дайте определение собственного вектора линейного оператора.
-
Дайте определение собственных значений линейных операторов.
-
Что называется линейным пространством?
-
Что называется Евклидовым пространством?
-
Дайте определение ортогональной системы векторов.