
Решение.
Найдем
.
Следовательно,
(ед.
работы).
Угол
между
и
находим
по формуле
т.
е.
4. Евклидово пространство.
Скалярное произведение имеет следующие свойства:
1°. ху=ух – коммутативное свойство.
2°. х(у+z)=xy+xz – дистрибутивное свойство.
3°. (αх)у=α(ху) – для любого действительного числа α.
4°. хх>0, если х – ненулевой вектор, хх=0, если х – нулевой вектор.
Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством.
5.
Векторным
произведением
двух векторов
и
называется вектор
,
длина которого равна произведению длин
векторов
и
на
синус угла между ними и который направлен
перпендикулярно векторам
и
так, что векторы
,
и
образуют правую тройку векторов (рис.
3):
(4)
Геометрически
равен площади S
параллелограмма, построенного на
векторах
и
:
Рис. 3
Условие коллинеарности векторов:
Если
,
то
(и наоборот), т. е.
Некоторые приложения векторного произведения.
1.Определение момента силы относительно точки.
Пусть
в точке
приложена
сила
и
пусть
- некоторая точка пространства (рис.
4).
Из
курса физики известно, что моментом
силы
относительно
точки
называется вектор
,
который
проходит через точку
и:
1)
перпендикулярен плоскости, проходящей
через точки
2) численно равен произведению силы на плечо
3)
образует правую тройку с векторами
и
.
Значит,
.
Рис.4
2.Нахождение линейной скорости вращения.
Скорость
точки
твердого
тела, вращающегося с угловой скоростью
вокруг
неподвижной оси, определяется формулой
Эйлера
,
где
,
где
—
некоторая неподвижная точка оси (рис.
5).
Рис.5
6.
Смешанным
произведением
трех векторов
,
и
называется число, равное
(5)
Модуль смешанного
произведения равен объему параллелепипеда,
построенного на векторах
,
и
.
Условие компланарности векторов.
Векторы
и
компланарны тогда и только тогда, когда
их смешанное произведение равно нулю
при условии, что
:
векторы
компланарны.
Пример 4.
По координатам вершин пирамиды
найти: 1) длины ребер
и
;
2) угол между ребрами
и
;
3) площадь грани
;
4) объем пирамиды.
Решение.
1) Найдем векторы
и
:
.
Найдем длины этих
векторов, т.е. длины ребер
и
:
.
2) Скалярное
произведение векторов
и
найдем
по формуле (3):
,
косинус угла между этими векторами – по формуле:
.
Следовательно, φ
– тупой угол, равный
рад с точностью до 0,01. Это есть искомый
угол между ребрами
и
.
7. Вектор-столбец
называется
собственным
вектором
квадратной матрицы А
n-го
порядка, соответствующим собственному
значению λ, если он удовлетворяет
матричному уравнению
или
.
Здесь Е
– единичная матрица n-го
порядка, 0 – нулевой вектор-столбец. При
условии, что вектор
,
получаем характеристическое
уравнение
для определения собственных значений
λ:
(6)
Координаты
собственного вектора
,
соответствующего собственному значению
,
являются решением системы уравнений:
(7)
Собственный вектор определяется до постоянного множителя.
Пример 5. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы
.