3.2. Решётки Браве

В 1848 году Браве показал, что все кристаллические структуры можно описать с помощью 14 типов решёток, отличающиеся формами элементарных ячеек и симметрией.

Эти решётки называют трансляционными решётками Браве.

По характеру расположения узлов все элементарные решётки по Браве делятся на 4 типа (см. рисунок):

1. Примитивная или Р-ячейка.

1. Сингония	Параметры
   1. Триклинная
   2. Моноклинная
   3. Ромбическая
   4. Тетрагональная
   5. Гексагональная
   6. Кубическая
   7. Тригональная

   Базоцентрированная или С-ячейка.

2. Объёмоцентрированная или I-ячейка.

3. Границентрированная или F-ячека.

В кристаллографии для аналитического описания кристаллов пользуются 3-х мерной системой координат, которую выбирают в соответствии с симметрией кристалла. Как правило оси координат совпадают с рёбрами элементарной ячейки, которая характеризуется параметрами a, b, c, α, β, γ. Все кристаллы можно объединить в 7 кристаллографических систем координат или сингоний.

14 трансляционных решёток Браве распределены по этим сингониям таким образом:

1. Триклинная: имеет примитивную решётку Р

2. Моноклинная: Р, С

3. Ромбическая: Р, С, I, F

4. Тетрагональная: P, I

5. Кубическая: Р, I, F

6. Гексагональная: P

7. Тригональная: Р

3.3. Индексы Миллера

Положение плоскости в кристалле можно определить задав отрезки U, υ и ω, отсекаемые на координатной плоскости…. Однако в случае плоскостей, проходящей через узлы кристаллической решётки, оказывается более удобным задавать положение плоскости с помощью наименьших целых чисел h, k, l, обратных отрезкам U, υ и ω, т.е. выполняется правило:

h, k, l называют индексами Миллера. При записи из заключают в скобки: (h k l).

Пример 1: Пусть отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, равны: . Определить индексы Миллера и построить плоскость. (рисунок)

Решение: Воспользуемся условием (3.2): 2, 3/2, 1. Умножим всё на 2: (4 3 2). Построение в осях единичного размера в кубе.

Пример 2: плоскость описывается индексами Миллера (4 3 2). Найти отрезки, отсекаемые плоскостью на осях, и выполнить построение.

Решение: разделим индексы на 2: (2, 3/2, 1). Используя (3.2) переворачиваем: 1/2, 2/3, 1

Примеры закончились.

В случае, когда какой-либо отрезок, отсекаемый плоскостью на координатной оси, оказывается отрицательным, то знак – ставится над соответствующим индексом Миллера, например (1 1).

Если плоскость параллельна координатной оси, то отсекаемый ею отрезок равен ∞, а соответствующий индекс Миллера равен 0.

Домашка:

1. Даны отрезки, отсекаемые плоскостью: ¼, 2/3, ½. Найти индексы Миллера и построить плоскость. Ответ: (8 3 4)

2. Даны индексы Миллера: (0 0 1). Найти отрезки и построить плоскость. Ответ: ∞, ∞, 1

3. Даны отрезки ½, ∞, 2/3. Найти индексы Миллера, построить плоскость. Ответ: (4 0 3)

4. Даны индексы Миллера: (3 2 2). Найти отрезки, построить плоскость. Ответ: 2/3, 1, 1

Лекция № 4 от 14.10.2011

3.4. Элементы симметрии кристаллов

Симметричной фигурой называется фигура, которая может совместиться сама с собой в результате симметричных преобразовний.

Отражения в точке или плоскости и вращения вокруг какой-либо оси, приводящие фигуру в совмещение с самой собой, называют преобразованиями симметрии.

Воображаемые плоскости, линии и точки, с помощью которых осуществляются отражения и вращения, называют элементами симметрии.

Различают следующие основные элементы симметрии:

1. Зеркальная плоскость симметрии

2. Поворотная ось симметрии (простая и зеркальная)

3. Центр симметрии или центр инверсии

Плоскость симметрии – плоскость, которая делит фигуру на 2 части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное отражение (как правая и левая рука) (обозначается Р).

Пример: у куба существует 3 взаимноперпендикулярные плоскости, которые делят пополам противоположные рёбра куба. У шара бесконечное число плоскостей симметрии – они проходят через диаметр.