- •1. Понятие экстремума функции.
- •2. Формула Тейлора.
- •4. Теорема Коши.
- •5. Правило Лопиталя ( раскрытие неопределенностей).
- •10.Замена переменных в определенном интеграле
- •11. Свойства непрерывных функций, заданных на сегменте.
- •12. Определенный интеграл.
- •13. Понятие дифференцируемости.
- •14. Дифференциал.
- •15. Точки перегиба графика функции.
- •16.Вогнутость и выпуклость графика функции
- •17.Вычисление площади криволинейного сектора
- •18.Длина дуги
- •19. Теорема Ролля.
- •20. Теорема Лагранжа.
- •22. Точки разрыва функции одной переменной.
- •Классификация точек разрыва функции.
- •23. Neopredelennyi integral I pervoobraznaya
- •24. Cвойства непрерывных функций, заданных на сегменте
- •25. Интеграл Римана.
- •26. Существование первообразной непрерывной функции.
- •1) Докажем, что
- •27. Вычисление площади криволинейной трапеции.
- •28. Свойства непрерывных на отрезке функций.
- •29. Вычисление объема тела.
- •30. Вычисление площади поверхности тел вращения.
13. Понятие дифференцируемости.
Функция называется дифференцируемой в данной точке , если приращение этой
функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде (5.9)
где А — некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при .
Заметим, что функция может принимать в точке какое угодно значение (при этом в этой точке остается справедливым представление (5.9)). Ради определенности можно положить .
Так как произведение двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем , т. е. , то формулу (5.9) можно переписать в виде
Теорема 1. Для того чтобы функция являлась дифференцируемой в данной точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Доказательство. 1) Необходимость.
Пусть функция дифференцируема в данной точке , т. е. ее приращение в этой точке представимо в виде (5.9). Предположив, что и поделив равенство (5.9) на , получим
(5.10)
Из равенства (5.10) вытекает существование производной, т. е. предельного значения .
2) Достаточность. Пусть функция имеет в данной точке конечную производную, т. е. существует предельное значение
(5.11)
В силу определения предельного значения функция аргумента является бесконечно малой при , т. е.
(5.12)
Где . Представление (5.12) совпадает с представлением (5.9), если обозначить через А не зависящее от число . Тем самым доказано, что функция дифференцируема в точке.
14. Дифференциал.
Дифференциалом функции в данной точке , соответствующим приращению аргумента , называют главную линейную относительно часть приращения этой функции в точке .
(5.14)
15. Точки перегиба графика функции.
Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки с оси абсцисс, в пределах которой график функции слева и справа от с имеет разные направления выпуклости.
Первое достаточное условие перегиба. Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки с и . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от с, то график этой функции имеет перегиб в точке .
Доказательство. Заметим, во-первых, что график функции имеет касательную в точке , ибо из условий теоремы вытекает существование конечной производной . Далее, из того, что слева и справа от с имеет разные знаки, и из теоремы «Если функция имеет на интервале конечную вторую производную и если эта производная неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале, то график функции имеет на интервале
выпуклость, направленную вниз (вверх)» заключаем, что направление выпуклости слева и справа от с является различным.
Второе достаточное условие перегиба. Если функция имеет в точке с конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям , , то график этой функции имеет перегиб в точке M(c,f(c)).
Доказательство. Из условия и из теоремы «Если функция дифференцируема в
точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке с» вытекает, что функция либо возрастает, либо убывает в точке с. Так как, то и в том, и в другом случае найдется такая окрестность точки с, в пределах которой имеет разные знаки слева и справа от с. Но тогда по предыдущей теореме график функций имеет перегиб в точке M(c,f(c)) .