- •1. Понятие экстремума функции.
- •2. Формула Тейлора.
- •4. Теорема Коши.
- •5. Правило Лопиталя ( раскрытие неопределенностей).
- •10.Замена переменных в определенном интеграле
- •11. Свойства непрерывных функций, заданных на сегменте.
- •12. Определенный интеграл.
- •13. Понятие дифференцируемости.
- •14. Дифференциал.
- •15. Точки перегиба графика функции.
- •16.Вогнутость и выпуклость графика функции
- •17.Вычисление площади криволинейного сектора
- •18.Длина дуги
- •19. Теорема Ролля.
- •20. Теорема Лагранжа.
- •22. Точки разрыва функции одной переменной.
- •Классификация точек разрыва функции.
- •23. Neopredelennyi integral I pervoobraznaya
- •24. Cвойства непрерывных функций, заданных на сегменте
- •25. Интеграл Римана.
- •26. Существование первообразной непрерывной функции.
- •1) Докажем, что
- •27. Вычисление площади криволинейной трапеции.
- •28. Свойства непрерывных на отрезке функций.
- •29. Вычисление объема тела.
- •30. Вычисление площади поверхности тел вращения.
16.Вогнутость и выпуклость графика функции
Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:
1.если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );
2.если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.
Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0 Î (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.
Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .
Разность f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x0.Таким образом,
К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c1 между c0 и x0. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
Предположим, что x>x0. Тогда x0<c1<c<x, следовательно, (x – x0) > 0 и (c – x0) > 0. Поэтому .
Пусть x<x0, следовательно, x < c < c1 < x0 и (x – x0) < 0, (c – x0) < 0. Поэтому вновь .
Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
17.Вычисление площади криволинейного сектора
Доказательство:
Пусть мы работаем в полярных координатах и имеем дело с кривой r=r (q ) , a £ q £ b
Фигуру , ограниченную :
А) графиком кривой r=r (q )
Б) прямыми q = a и q = b назовём криволинейным сектором .
Разобьём отрезок [a , b ] на части точками q1, q 2 , …q n-1 , так ,что
a = q 0 <q 1<q 2<…<q n-1<q n-b и обозначим l = max D q I
Пусть mi = int r (q ) ? Mi = sup r(0) и
q Î [ q I, q I+1] q = [ q I, q I+1]
Так как есть площадь кругового сектора радиуса r и углом D q , то s и S есть площадь всех круговых секторов , вписанных и описанных вокруг нашего криволинейного сектора .
Если при l ® 0 существует lim s и lim S и они равны друг другу , то их общее значение называется площадью криволинейного сектора .
P= lim s = lim S
Но так как s и S есть снова суммы Дарбу , то
что и определяет площадь криволинейного сектора .