13. Понятие дифференцируемости.

Функция называется дифференцируемой в данной точке , если приращение этой

функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде (5.9)

где А — некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при .

Заметим, что функция может принимать в точке какое угодно значение (при этом в этой точке остается справедливым представление (5.9)). Ради определенности можно положить .

Так как произведение двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем , т. е. , то формулу (5.9) можно переписать в виде

Теорема 1. Для того чтобы функция являлась дифференцируемой в данной точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. 1) Необходимость.

Пусть функция дифференцируема в данной точке , т. е. ее приращение в этой точке представимо в виде (5.9). Предположив, что и поделив равенство (5.9) на , получим

(5.10)

Из равенства (5.10) вытекает существование производной, т. е. предельного значения .

2) Достаточность. Пусть функция имеет в данной точке конечную производную, т. е. существует предельное значение

(5.11)

В силу определения предельного значения функция аргумента является бесконечно малой при , т. е.

(5.12)

Где . Представление (5.12) совпадает с представлением (5.9), если обозначить через А не зависящее от число . Тем самым доказано, что функция дифференцируема в точке.

14. Дифференциал.

Дифференциалом функции в данной точке , соответствующим приращению аргумента , называют главную линейную относительно часть приращения этой функции в точке .

(5.14)

15. Точки перегиба графика функции.

Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки с оси абсцисс, в пределах которой график функции слева и справа от с имеет разные направления выпуклости.

Первое достаточное условие перегиба. Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки с и . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от с, то график этой функции имеет перегиб в точке .

Доказательство. Заметим, во-первых, что график функции имеет касательную в точке , ибо из условий теоремы вытекает существование конечной производной . Далее, из того, что слева и справа от с имеет разные знаки, и из теоремы «Если функция имеет на интервале конечную вторую производную и если эта производная неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале, то график функции имеет на интервале

выпуклость, направленную вниз (вверх)» заключаем, что направление выпуклости слева и справа от с является различным.

Второе достаточное условие перегиба. Если функция имеет в точке с конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям , , то график этой функции имеет перегиб в точке M(c,f(c)).

Доказательство. Из условия и из теоремы «Если функция дифференцируема в

точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке с» вытекает, что функция либо возрастает, либо убывает в точке с. Так как, то и в том, и в другом случае найдется такая окрестность точки с, в пределах которой имеет разные знаки слева и справа от с. Но тогда по предыдущей теореме график функций имеет перегиб в точке M(c,f(c)) .