1. Понятие экстремума функции.

Экстремум – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума ( – точка минимума; – точка максимума). Точка называется точкой строгого локального max(min) f(x), еcли

2. Формула Тейлора.

многочлен Тейлора для степени n

,

1) F(t) – дифференцируема и непрерывна [a,x]

2) при

при

По теореме Ролля в

остаточный член в формуле Лагранжа

3. Формула Маклорена. – Формула Тейлора при

Остаточный член:

а) в форме Лагранжа

б) в форме Пеано

4. Теорема Коши.

Если каждая из двух функций непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если, кроме того, производная отлична от нуля всюду внутри сегмента , то внутри этого сегмента найдется точка такая, что справедлива формула (формула Коши)

Доказательство:

1) докажем, что :

Предположим что , то по теореме Ролля для , внутри сегмента нашлась бы точка такая, что . Это противоречит теореме.

2) так как , то имеет место вспомогательная функция

– непрерывна на и дифференцируема

Имея ввиду, что и

5. Правило Лопиталя ( раскрытие неопределенностей).

а) Неопределенность вида

Т-1. Пусть – определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки ; пусть, далее,

если существует , то существует

Доказательство: пусть

Доопределим в точке

по теореме Коши

по доопределению

так как – существует

Теорема доказана. Замечание 1

б) Неопределенность вида

Аналогично Т-1, но вместо заменяем

в) Неопределенности вида сводим к

6.Необходимые условия локальных экстремумов

Теорема. Если f(x) имеет в точке x₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f’(x₀)=0.

Доказательство. Так как в точке x₀ f(x) имеет локальный экстремум, то существует интервал (x₀-ϭ,x₀+ϭ) в котором f(x₀) является min(max).

По теореме Ферма f(x₀)=0. Ч.т.д.

7.Разрывы функции одной переменной первого рода

Точка а называется точкой разрыва 1-го рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения. Lim_x->a+0f(x)lim_x->a-0f(x).

8.Разрывы функции одной переменной второго рода

Точка а называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних предельных значений или если хотя бы одно из односторонних предельных значений бесконечно.

9.Замена переменных в неопределенном интеграле

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.

Теорема. Пусть функция x=ϕ(t) имеет непрерывную производную ϕ’(t), тогда

Доказательство. Прибегнем к следующему свойству первообразной функции: если F(x)– первообразная для f(x), то F(ϕ(t)) – первообразная для . Следовательно, согласно определению понятия неопределенного интеграла: или Но в силу свойств неопределенного интеграла или . где разумеется .