1.5. Практическое занятие № 1. Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Арифметические операции в позиционных системах счисления

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием используется следующий алгоритм (см. разд. 1.4):

• целое число делится на с остатком, остаток от деления запоминается. Полученное частное вновь делится на , остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на выписываются в порядке, обратном их получению;

• дробное число умножается на , после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть опять умножается на и т. д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо бесконечная -ичная дробь.

Пример 1. Перевести данные числа из десятичной системы счисления в двоичную, пятеричную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему: а) ; б) .

В разд. 1.4 приведены схемы перевода чисел из десятичной системы в любую -ичную систему. Запишем эту схему в столбик, одновременно переводя целую и дробную часть числа.

а)

б)

Обратный перевод чисел из -ичной системы счисления в десятичную основан на формуле (1.4.2).

Пример 2. Перевести в десятичную систему числа, полученные в п. а) примера 1.

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, причем в целой части числа группировка производится от запятой справа налево, а в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываются нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы.

Пример 3. Переведем число в восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

; ;

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Таблицы сложения и умножения в двоичной и восьмеричной системе приведены в разд. 1.4 (табл. 1.1 и 1.2); в шестнадцатеричной системе они показаны в табл. 1.5 и 1.6.

В -ичных системах счисления все арифметические действия происходят точно так же, как и в десятичной системе. Например, при сложении цифры одинаковых разрядов суммируются, и если при этом возникает избыток (переполнение разряда), то он переносится влево в следующий разряд.

Таблица 1.5. Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

Таблица 1.6. Умножение в шестнадцатеричной системе счисления

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

Пример 4.

П ример 5.

В ыполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо брать из соответствующих рассматриваемой системе счисления таблиц умножения и сложения.

Пример 6.

Проверка: ;

;

;

;

Проверка: ;

; ;

;

Проверка: ;

;

;

;

Проверка: ;

;

;

.

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, что и деление углом в десятичной системе.

Пример 7.

Проверка: ;

;

;

;

Проверка: ;

;

;

;

Проверка: ;

;

;

;

Проверка: ;

;

;

.

1.5.1. Заполните табл. 1.7.

Таблица 1.7

Десятичная с/с	Двоичная с/с	Троичная с/с	Четверичная с/с
42.13
	10111.101
		212.122
			3312.23

1.5.2. Заполните табл. 1.8.

Таблица 1.8

Десятичная с/с	Пятеричная с/с	Шестеричная с/с	Семеричная с/с
95.375
	43.124
		513.42
			14.65

1.5.3. Заполните табл. 1.9.

Таблица 1.9

Десятичная с/с	Двоичная с/с	Восьмеричная с/с	Шестнадцатеричная с/с
117.15
	1110111.11
		757.65
			5B.4A

1.5.4. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:

а) ; б) ; в) ; г) .

1.5.5. Составьте таблицы сложения и умножения в системе счисления:

а) троичной; б) четверичной.

1.5.6. Выполните действия:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1.5.7. Выполните действия:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1.5.8. Выполните действия:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1.5.9. Выполните действия (до трех знаков после запятой):

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1.5.10. Расположите следующие числа в порядке возрастания:

а) , , , ;

б) , , , ;

в) , , , ;

г) , , , .

1.5.11. Выполните расчетно-графическую работу по вариантам.

1. Переведите данное число из десятичной системы счисления в двоичную, пятеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

2. Переведите данное число в десятичную систему счисления.

3. Выполните сложение и вычитание.

4. Выполните умножение.

5. Выполните деление (до трех знаков после запятой).

Вариант 1

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 2

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 3

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 4

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 5

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 6

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 7

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 8

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 9

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 10

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 11

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 12

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 13

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 14

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 15

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 16

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 17

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 18

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 19

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 20

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 21

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 22

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 23

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 24

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 25

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 26

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 27

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 28

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 29

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

Вариант 30

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. .

1 Владимир Александрович Котельников (1908—1997 гг.) — советский физик (радиотехник).



1 Сэмюэль Финли Бриз Морзе (1791—1872 гг.) — американский художник и изобретатель. В 1838 г. Морзе разработал специальный код (азбуку Морзе) и послал первое телеграфное сообщение.

2 Луи Брайль (1809—1852 гг.) — французский тифлопедагог.



38