1.4.2. Преобразование чисел из одной системы счисления в другую
Преобразование из
десятичной в прочие системы счисления
производится в
соответствии с формулой 1.4.2 с помощью
правил умножения и деления. При этом
целая и дробная части переводятся
отдельно. Рассмотрим алгоритм перевода
на примере целого числа 137 в двоичную
систему. Разделим его нацело на 2, получим
,
остаток 1. Полученный результат можно
записать следующим образом:
.
Продолжим операцию деления дальше
,
остаток 0,
;
,
остаток 0,
;
,
остаток 1,
;
,
остаток 0,
;
,
остаток 0,
;
,
остаток 0,
.
Далее процесс продолжать
нельзя, т. к. 0 не делится нацело на 2.
Таким образом, последовательное деление
нацело на 2 позволяет разложить число
по степеням двойки, а это в краткой
записи и есть двоичное изображение
числа:
.
Все приведенные выкладки можно сократить,
записав процесс деления в виде следующей
схемы:
Ч
итая
частное и остатки от деления в порядке,
обратном получению, найдем двоичную
запись числа. Для других систем счисления
все описанные действия выполняются
аналогичным способом. Например, это же
число 137 в восьмеричную и шестнадцатеричную
систему счисления переводится по похожим
схемам.
Для дробных чисел
правило последовательного деления
заменяется правилом последовательного
умножения. Переведем 0.2 из десятичной
системы счисления в двоичную. Умножим
0.2 на 2, т. е.
или
.
,
;
,
;
,
;
,
,
т. е.
.
Все вышеприведенные выкладки можно
свести в табл. 1.3.
Таблица 1.3
-
0
0.2
2
0
0.4
2
1
0.8
2
1
0.6
2
0
0.2
2
…
…
Заметим, что в десятичной
системе правильная дробь переводится
в десятичную дробь в конечном виде
только тогда, когда ее знаменатель имеет
множители только степени двоек и пятерок,
т. е. дробь имеет вид
.
Аналогично в двоичной системе счисления
конечный вид получают дроби, где в
знаменателе только степени двойки.
Таким образом, большинство десятичных
конечных дробей в двоичной системе
счисления будут бесконечными периодическими
дробями.
Обратный перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную производится методом подстановки. Для этого необходимо представить число по формуле (1.4.2):
.
Между двоичной системой счисления, восьмеричной и шестнадцатеричной существует связь, позволяющая легко переводить числа из одной системы в другую. Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную, надо от десятичной запятой вправо и влево выделить группы по три цифры (триады), и каждую группу независимо от других перевести в одну восьмеричную цифру. Для перевода в шестнадцатеричную систему необходимо выделять по четыре цифры (тетрады) и переводить каждую группу в одну шестнадцатеричную цифру.