38. Производная обратной функции. ( с доказательством)

Пусть функция y=f(x) (1), задана на множестве х (большая), а у – множество её возможных значений тогда каждому х€ Х ставится в соответствие единственное значение у€У с другой стороны каждому у€У будет соответствовать одно или несколько значений х€ Х. В случае, когда каждому у€У соответствует только одно значение х€ Х, для которого f(x)=у на множестве У можно определить функцию х=g(y) (2) множеством значений которого является множество х. Функцию (2) называют обратной по отношению к 1-ой. Функции (1) и (2) – взаимообратные функции.

Обозначают обратную функцию х= (y).

T.1: Если функция y=f(x) определена строго монотонно и непрерывна на отрезке [a,b], то обратная функция х= (y) определена строго монотонно и непрерывно на отрезке [А,В], где А= f(а), В= f(b). Строгая монотонность: для любых точек ,€ х < (>) выполняется неравенство f()<f(,) (f()>f(,))

Т.2: Пусть функция у= f(x) удовлетворяет условиям теоремы о существовании обратной функции и в точке имеет конечную производную f’()≠0, тогда функция х=g(y) точке так же имеет конечную производную равную .

Доказательство : Придадим приращение у≠0, тогда функция х=g(y) получит приращение х≠0. Очевидно, что =.

Если у–›0, то х так же –›0, что следует из непрерывности обратной функции.

Переходим к пределу

Предел: lim (у–›0) = : lim (x–›0) = , т.е. х’y = или у’х = .

Что и требовалось доказать.

8.Эллипс(!!!!Это не надо!!!!)

Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением .

Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом. е = с/a. Т.к. с < a, то е < 1.

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения: x = a/e; x = -a/e.

8.Эллипс. (Каноническое уравнение с выводом)

Определение. Множество точек в плоскости,сумма расстояний каждой из которых от 2ух данных точек,называется фокусами,есть величина постоянная.

С

M (x,y)

F (-c,0)

F₁ (c,0)

x

y

0

умма расстояния – 2а

F₁M+F₂M=2a

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между 2мя точками.

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

После несложных алгебраических преобразований,получаем каноническое уравнение:

Оси координат – это оси симметрии эллипса.Т. О – центр эллипса. А₁А₂, В₁В₂ – большая и малая ось эллипса. Вершина эллипса имеют координаты А₁ (-а₁,0), А₂ (а,0), В₁ (0,-b), B₂ (0,b).

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большей оси.

=

Окружность – это частный случай эллипса a=b (c=0)

M

B₂

B₁

A₁

F₁

F₂

A₂

O

x

y

a

b

c

34,Точки разрыва и их классификация

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.