27. Свойства бесконечно малых последовательностей (доказательство)

Теорема 1: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство: () (альфа) () – б.м.

Доказать , что ( + ) – б.м. , т.е. по определению для любого числа E>0 , существует N

Выполн. нер-во l + l< E

Берём произвольное число Е>0. Последовательность () бесконечно малая, т.е. для любого >0 существует такое число N с индексом 1, что для любых n>N выполняется ll< (1),

т.к. () –б.м., то для любого числа >0 существует такое число N с индексом 2, что для любых n> выполняется ll < (2).

Обозначим через N = max {: }, тогда для любых n>N неравенство (1) и (2) выполняются одновременно.

Воспользуемся свойством | x+y| <= (меньше либо равно) |x| +|y|, тогда | + |<= (меньше либо равно) )| | +|| < +

Таким образом неравенство | + | < E, которое выполняется для всех n>N, это значит ( + ) – б.м.

Определение: последовательность ( называется ограниченной если существует такое число М, что для любых n выполняется неравенство |<= (меньше либо равно) M.

Теорема 2: произведение б.м. на ограниченную есть последовательность бесконечно малых.

Следствие 1: произведение б.м. на постоянное число есть последовательность б.м.

Следствие 2: произведение двух б.м. последовательностей есть последовательность б.м.

(* )- б.м.

Следствие справедливо, т.к. б.м. последовательность есть последовательность ограничеснная.

32 Вопрос

Замечательные пределы

Определение-Предел отношения . называется первым замечательным пределом.

Разновидности первого замечательного предела:

1)

2)

3)

Определение- Вторым замечательным пределом

называется следующий предел

е=2.71828182845)))) е-основание натурального алгоритма

Разновидности второго замечательного предела:

1)

2)

6 Вопрос

Парабола

Определение- множество точек плоскости, каждая из которых

равно удалена от данной точки F, называемой фокусом,

и данной прямой называемой директрисой-парабола.

Используем определение и получим ур-е параболы:

Через данную точку F проведем прямую перпендикулярную в данной

Директрисе DD’ и направленной от директрисы к фокусу. Примем эту прямую

За ось Ox. Расстояние от директрисы до фокуса равно P ( AF=P, P>0).

P-параметр параболы. Середину отрезка A примем за начало координат

и проведем через эту точку ось Oy. Фокус имеет координаты F( P/2;0).

Берем произвольную точку M(x,y) и опускаем перпендикуляр на директрису, т.е

Будет иметь координаты С( -p/2;y). По определению параболы MC=MF

Найдем расстояние между точками М(x,y) и С(-p/2;y); M(x,y) и F(p/2;0)/

Учитываем определение -

уравнение параболы. Возведем обе части в квадрат

=

Окончательно получаем

, т.к оно второй степени .,

то это кривая второго порядка.

35.Понятие производной функции в точке. Односторонние и бесконечные производные.

Пусть функция f (x) = y определена в некоторой окрестности точки x₀.

Определение 8.1. Производной функции f в точке x₀ называется число, обозначаемое , равное пределу отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента ∆x при стремлении ∆x к нулю, если этот предел существует:

или, если обозначить , то при и

Определение 8.2. Функция, имеющая конечную производную в точке х₀ , называется дифференцируемой в этой точке.

Определение 8.3. Если в точкех₀ функция f (x) непрерывна, а предел (8.1) равен бесконечности (+∞ или −∞ ) , то говорят о бесконечной производной.

Определение 8.4. Пределы

называются правосторонней и левосторонней производной, соответственно.

Для существования производной необходимо и достаточно, чтобы существовали обе односторонние производные и и они были равны друг другу:

Производная обозначается и другими способами, например:

Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Угол между кривыми.

На кривой f (x) y выберем две различные точки М₀ и М₁ (рис.8.1) и через них проведем единственную прямую l , которая называется секущей к графику. Используя уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и которое имеет вид , получим уравнение секущей

Сравнивая уравнение (8.4) с уравнением прямой с угловым ко-эффициентом, заключаем, что угловой коэффициент k секущей l имеет вид

Тогда и уравнение секущей (8.4) перейдет в уравнение касательной:

Таким образом, производная функции f (x) = y, вычисленная в точке х= х₀ есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f (x) =y в точке

В этом и состоит геометрический смысл производной.

Определение 8.6. Прямая, перпендикулярная к касательной в точке М₀ называется нормалью к кривой f (x) =y в точке М₀.

Из условия k₁ k₂ =− 1 перпендикулярности прямых заключаем, что угловой коэффициент k_н нормали выражается через угловой коэффициент k_кас касательной по формуле Следовательно, уравнение нормали к кривой f (x) =y в точке М₀ имеет вид

Определение 8.7. Пусть две кривые f (x) =y и g (x) = y пересекаются в точке т.е. Углом α между заданными кривыми называется угол между касательными к кривым, проведенным в точке их пересечения:

Y=c, c-const Y/=0 Y=x Y/=1 Y=u+v-w Y/=u/+v/+w/ Y=u*v Y/=u/*v+u*v/ Y=uvw Y/=u /vw+uv /w+uvw/ Y= u/v Y/=u /v-uv/ v2 Y=c/v, y=cv -1 Y/=c V2 Y=logax, a>0, Y/=1 logae x Y=lnx Y/=1

Y=ax, a>0 Y/=axlna Y=ex Y/= ex Y=xL, где L- любое Y/=LxL-1 Y=sinx Y/=cosx Y=cosx Y/=- sinx Y=tgx Y/= 1__ Cos2x Y=ctgx Y/=1__ Sin2x Y=arcsinx Y/=1__ √1-x2

Док-во: x=siny

Y^/=1_ = 1____ =1________

x^/_y cosy cos(arcsinx)

= 1___________= 1___

√1-sin²*arccosx √1-x²