Вопрос 21

Диагональная система векторов линейно независима.

Доказательство теоремы:

Согласно определению теорема будет доказана, если мы установим, что

Имеет место лишь при условии, когда

Вместо одного уравнения можем записать систему n-линейных уравнений

d₁b₁₁=0

d₁b₁₂+d₂b₂₂=0

d₁b_1r+d₂b_2r+…+d_rb_rr=0

d₁b_1n+d₂b_2n+…+d_rb_rn=0

Т.к. b₁₁ ≠0 ­­­--> d₁=0

d₂b₂₂=0 b₂₂≠0 d₃=0

d₂=0

Равенство возможно только когда d₁=d₂=…d_r=0

Пример:

Примером диагональной системы векторов служит система n-единичн. n-мерн. векторов:

е₁=(1,0,…,0)

е₂=(0,1,0,…,0)

е_n=(0,…,0,1)

По теореме эта система линейно-независима

№22

Теорема о представлении произвольного вектора в виде линейной комбинации единичных векторов.

Теорема: любой ā ϵ может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации единичных векторов.

Док-во: пусть ā =(

Вектор можно представить следующим образом:

вектор ā=( (4)

Докажем единственность разложением (4) по един. векторам:

ā = (5)

Вычтем (5)-(4):

ā =

,= 0

Если опред.,сост. из координат = 0

Теорема: в пространстве , любая система, состоящая из более чем n векторов, линейно зависима.

Вопрос 23.

Ранг и базис системы векторов.

Пусть в пространстве Rⁿ дана производительная система векторов S, никаких ограничений на число векторов в системе не налагается: оно может быть конечным или бесконечным, напр. S может состоять из всех векторов т.е. совпадать с пространством Rⁿ

Опр.1. Рангом системы векторов S называется максим. число линейно-независимых этой системы и обозначается r.

Опр.2. Базисом системы векторов S называется любая совокупность из максим. числа r линейно-независимых векторов этой системы.

Т. Ранг пространства Rⁿ равен r=n.

Ранее было показано, что система един. Вектора e¹, e²,…, eⁿ образуют базис который назыв. единичным базисом, а разложение a= λ₁e₁+λ₂e₂+…λ_ne_n –разложение вектора по единичному базису. Числа λ₁ λ₂λ₃ называется координатами вектора.

Т: Любой вектор а, принадлежащий пространству Rⁿ может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса(1).

26. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними,(с доказательством)

Определение 1: Последовательность (х_n) называется бесконечно малой, если

Или другими словами: последовательность (х_n) называется бесконечно малой, если для любого числа ε >0 можно найти такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство |x_n|< ε

Пример:

Последовательность (1/n) бесконечно малая , так как

Определение 2: Последовательность (х_n) называется бесконечно большой, если для любого числа ε >0 , можно найти такой номер N , что для всех n>N , выполняется неравенство |x_n|> ε.

Если последовательность бесконечно большая, то или х_n^----→_n→∞∞

Пример:

((-1)ⁿ∙n)

-1, 2, -3 … эта последовательность бесконечно большая

Установим связь между бесконечно малой последовательностью и бесконечно большой последовательностью

Теорема: 1)Если последовательность (х_n)- бесконечно малая, то последовательность (1/x_n) – бесконечно большая.

2) Если последовательность (х_n) бесконечно большая, то последовательность (1/x_n) – бесконечно малая.

Докажем первую часть теоремы:

Дано: (х_n)- бесконечно малая последовательность

Доказать: (1/x_n) – бесконечно большая последовательность

Доказательство: Берем любое число E>0 и запишем число ε=1/Е>0. По данному (х_n)- бесконечно малая последовательность, то есть для любого числа ε>0, можно найти такой номер N , что n>N, выполняется неравенство |x_n|< ε или |x_n|<1/E или 1/|x_n|> E что и требовалось доказать.

24. Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из этого определения вытекает, что если ранг матрицы равен r, то

среди миноров этой матрицы есть по крайней мере один минор r-го

порядка, отличный от нуля (его будем называть базисным минором),

а все миноры порядка 1 + r и выше равны нулю. Ранг матрицы А обозначается r (А). По определению, ранг нулевой матрицы О равен нулю; тогда ранг r (А) произвольной матрицы А_m’n удовлетворяет неравенству 0≤ r (А) ≤ min(n,m)

Поскольку вычислять ранг матрицы по определению достаточно трудоемко, то с помощью элементарных преобразований матрицу приводят к такому виду, из которого ранг матрицы очевиден.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1. Транспонирование.

2. Перемена местами двух строк или двух столбцов.

3. Умножение всех элементов строки или столбца на число с, отличное от нуля.

4. Прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число.

Теорема 3.5. Элементарные

преобразования не меняют ранг матрицы.

Отметим, что с помощью элементарных преобразований любую матрицу А можно привести к виду

(3.9)

где на главной диагонали стоят r единиц, а все остальные элементы матрицы равны нулю. Ясно, что ранг такой матрицы равен r, тогда по

теореме 3.5. ранг матрицы А равен r.

Замечание. При вычислении ранга матрицы с помощью элементарных преобразований не обязательно получать вид (3.9), достаточно

привести матрицу к трапециевидной форме, количество ненулевых строк в которой равно рангу матрицы.