Линейные дифференциальные уравнения
Будем рассматривать ДУ вида:
(1)
(2)
(3)
где
-многочлен
степени меньше, чем кратность корня
.
,
-т.к.
,
,
т.е. решение ДУ является оригиналом.
Пример.
;
;
.
Пример.
;
;
;
.
Пример.
;
;
;
;
;
Используем теорему разложения:
;
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
(5)
Заданы начальные условия:
Всякое решение
такой (5) системы ДУ, а именно функции
-,
будут оригиналами.
(7)
Пример.
;
;
;
;
;
;
;
;
Преобразование Лорана и его применение к разностным уравнениям.
(1)
где
(2)
;
;
;
;-
разностное уравнение.
;
Преобразования Лорана
Оригиналы по Лорану – функции целочисленного аргумента f(k),k=0,1,2,…
-изображение,
-главная
часть ряда Лорана, сходится в окрестности
бесконечно удаленной точки
.
Свойства
-
Линейность
,
где
-
произвольные постоянные.
.
Доказательство очевидно.
-
Обращения преобразований Лорана.
3)Теорема разложения.
Пусть С-окружность
большого радиуса такая, чтобы на этой
окружности не было бы особых точек
.
4)Теорема опережения.
;
Док-во:
Теорема о дифференцировании изображения.
.
Док-во:
;
;
Таблица соответствий между оригиналами и их изображениями для преобразований Лорана
1)
;
2)Применим теорему о дифференцировании изображений к 1):
;
;
;
,
-полюс
n+1
порядка
;
3)
;
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
8)
;
9)
;
Разностные уравнения
;
;
;
;
-
уравнение в конечных разностях;
(1)
,
где n
– целое, k=0,1,2,…
(2)
;
Теорема.
Если
,
то существует решение полученное
рекуррентным соотношением
1)
;
2)
Решение разностных уравнений с помощью преобразований Лорана
Теорема опережения.
;
;
;
По теореме разложения и по таблице находится решение.
Пример.
;
По теореме разложения:
Решение систем разностных уравнений операционным методом
По теореме опережения:
;
Пример.
