Ряды функций комплексного переменного

Опр.

1. Ряд называется равномерно сходящимся в области Q, если:

, ,

2. Если N зависит от z, то сходимость неравномерная.

Теорема. Если непрерывны на дуге L, ряд равномерно сходится на дуге L, , то .(ряд можно почленно интегрировать)

Теорема Вейерштрасса.

Если G- связная область, -аналитические в G,

- ряд, равномерно сходящийся к в G, то

1. f(z) аналитическая в G,

2. замкнутой области ряд из производных сходится равномерно к производной:

.

Док-во:

1. Возьмем произвольную точку z G и окружим ее контуром Г,

Тогда:;

;

; ;

;

;

;

перейдя к пределу, получим:

, таким образом f(z) аналитическая функция.

2) Возьмем контур , такой что внутри .

Г

z .

Рассуждая также, как при доказательстве 1), получаем при n>N, z внутри .

внутри .

Тоже самое можно сделать для точки, принадлежащей замкнутой области (покрыть ее окружностью, внутри которой сходимость ряда равномерна). Таким образом, область покрыта окружностями . Т.к. замкнутая область - компакт, следовательно можно выделить конечное подпокрытие: .

, таким образом доказана равномерная сходимость ряда производных в .

Следствие. Если выполнены условия теоремы Веерштрасса, то .

Теорема Абеля. Если , то если : -ряд сходится, -ряд расходится; -ряд сходится равномерно.

Утв. Если , то аналитическая в круге радиуса R.

Док-во:

В силу теоремы Веерштрасса аналитическая в кольце , но т.к. r выбирается произвольно, то аналитическая в круге.

Ряд Тейлора

Теорема. Если -аналитическая в круге , то , радиус сходимости ряда не меньше R.

Док-во:

z

R

Г

;

Это верно, когда .

.

Функциональный ряд * мажорируется сходящимся числовым рядом , таким образом ряд * сходится равномерно его можно интегрировать почленно.

;

Утв. Если сходится при , то на окружности радиуса R есть особые точки.

Док-во:

Предположим противное: все точки окружности – точки аналитичности.

Покроем окружность системой окрестностей ее точек, расширим область аналитичности. Тогда существует окружность радиуса , внутри которой функция аналитическая, следовательно ряд сходится в круге радиуса -не радиус сходимости, и мы приходим к противоречию.

Опр1. Точка называется нулем функции , если аналитическая в точке и .

Опр2. Точка называется нулем кратности k (нулем k-ого порядка) функции , если:

Пример.

- нуль функции

, таким образом точка z=0-нуль кратности 3.

Лемма. Если , аналитические в точке , лежит в области аналитичности f и , , при , то в некоторой окрестности точки .

Док-во:

при

при

и т.д.

, следовательно .

Теорема. задана на последовательности точек , - аналитическая, то определяется значениями единственным образом во всей своей области определения.

Док-во:

Пусть и аналитические и совпадают . Докажем, что они совпадают всюду. Применим Лемму к точке : в некоторой окружности с центром и совпадают. Возьмем точку пересечения этой окружности с ломаной -. . К точке также применяем Лемму.

Далее строим следующую окружность. Таким образом за конечное число шагов

мы дойдем до точки z и

совпадают в z и .

Z

Оценки Коши коэффициентов ряда Тэйлора

Теорема. Если , , то .

Док-во:

.

Теорема Ляувилля. Если аналитическая на всей комплексной плоскости и ограничена, то =const.

Док-во:

, ,

;

.

Лекция 7

Основная теорема алгебры

Теорема. Если , , то уравнение имеет по крайней мере один корень.

Док-во:

(т.е. вне круга радиуса М )

Предположим, что не имеет корней, тогда ограничена в круге и аналитическая на всей плоскости. Таким образом по теореме Ляувилля , следовательно мы пришли к противоречию.

Ряд Лорана

Теорема. - аналитическая в кольце с центром , то ее можно представить в виде ряда Ларана.

Док-во:

Г

Выберем точку z внутри кольца и окружности и Г (тоже внутри кольца), так чтобы точка z лежала между ними.

1.

2.

Ряд мажорируется рядом Он сходится равномерно и его можно почленно интегрировать.

Если контур С лежит между и Г, то интеграл по С равен интегралу по , т.к. между и С функция аналитическая.

Опр. В ряде Лорана первая сумма называется правильной частью ряда Лорана, а вторая сумма – главной частью.

Следствие1. Правильная часть сходится в круге , а главная часть вне круга радиуса r (т.е. при )

Следствие2. Из доказательства теоремы вытекает, что ряд Лорана находится единственным образом.

Пример1.

-2 0 2

;

Первое слагаемое сходится при , т.е. , т.е. вне малой окружности.

Второе слагаемое сходится при , , т.е. внутри большой окружности.

Таким образом получен ряд Лорана в кольце .

Пример2.

0 2

;

Первое слагаемое сходится при .

Опр. Ряд в области называется рядом в окрестности точки . Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Утв. Если - аналитическая в окрестности -изолированная особая точка, то в окрестности :

.

Док-во:

,

;