Особые точки функций комплексного переменного

Опр. Особой точкой функции называется точка в которой не определена или не дифференцируема.

Опр. Особая точка называется изолированной, если такая ее окрестность, в которой нет других особых точек.

Утв. Если - изолированная особая точка , то в окрестности , раскладывается в ряд Лорана.

Классификация особых точек

Опр1. Особая точка называется устранимой, если в ряде Лорана в окрестности этой точки отсутствует главная часть.

Опр2. Изолированная особая точка называется полюсом, если главная часть ряда Лорана в окрестности этой точки имеет конечное число членов:

Число N называется кратностью (порядком полюса).

Утв. Если - полюс , то .

Док-во:

Опр3. Изолированная особая точка называется существенно особой, если главная часть разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.

Лекция 8

Связь между нулем и полюсом

Утв1. имеет в точке нуль порядка n имеет в точке полюс порядка n.

Док-во: {}

Утв2. имеет существенно особую точку в точке имеет в неизолированную особую точку ИЛИ существенно особую точку.

Пример.

;

;

; ;

Таким образом, получаем не изолированную особую точку.

Утв3. Если ,

,

,

то имеет при:

1)mn устранимую особую точку,

2)m>n полюс порядка n-m.

Док-во: {для 2}

;

Теорема Сохоцкого.

Если -существенно особая точка функции , то .

Док-во:

1)

а)

-сходится при

сходится при

б) Предположим противное:

ограничена в окрестности точки .

в)

при (т.е. ограничена в окрестности ).

г)В круге ограничена, как непрерывная функция в замкнутой области.

д) Из б), в), г) следует ограничена на всей комплексной плоскости.

е) ограничена на С, аналитическая, по теореме Ляувилля противоречие.

2)

а) имеет не изолированную особую точку.

б) -изолированная особая точка

имеет изолированную особую точку в имеет существенно особую точку по Утв2 имеет существенно особую точку в

по 1)

Теорема доказана.

Особые точки в бесконечности

Утв. Если -изолированная особая точка , то

Док-во:

Пусть . Раскладываем в окрестности нуля:

.

Вычеты

Опр. -изолированная особая точка. называется вычетом, где - коэффициент при -1 степени в разложении ряда Лорана:

Основная теорема о вычетах.

Если G – односвязная область, Г – замкнутый контур, Г ограничевает G, G содержит конечное число изолированных особых точек функции , то

.

Док-во:

Г

G

. . .

Окружит каждую особую точку окружностью так, чтобы внутри не было других особых точек, и чтобы и не пересекались(ij).

.

Вычисление вычетов

1.

Утв. Если - устранимая особая точка , то (Т.к. главная часть ряда Лорана не содержит ни одного члена )

2.

а) Утв. Если -простой полюс (полюс кратности 1), то .

Док-во:

Пример.

,

имеет простой полюс.

б) Утв. Если ,,,, то .

Док-во:

-полюс I порядка

3.

Утв. Если -полюс порядка n , то .

Док-во:

Переходим к и делим на :

Пример1.

;

Пример2.

Лекция 9

Опр. - изолированная особая точка ,

, где Г- замкнутый контур.

Утв. Если , то .

Док-во:

1) .

2) С: {}

,

при

3)

4)

Теорема. Если -изолированная особая точка, кроме имеется конечное число особых точек, то

Док-во:

Возьмем замкнутый контур С, охватывающий все особые точки, кроме

;

;

;

Логарифмический вычет.

Опр. Логарифмическим вычетом называется:

, если С – замкнутый контур, - аналитическая внутри С и на нем за исключением конечного числа особых точек, все особые точки лежат внутри С, все особые точки – полюсы.

Утв1. Если , - нуль кратности фунции , то .

Док-во:

Для функции - полюс I порядка.

.

Утв2. Если -полюс кратности n функции , то .

Док-во:

.

Принцип аргумента.

Теорема. Логарифмический вычет функции относительно контура С равен приращению аргумента при обходе контура С, деленному на , равно разности между числом нулей М и числом полюсов N функции в облости D, ограниченной контуром С:

Док-во:

Z W

z w

C

1)

2) Внутри С будет иметь конечное число нулей, т.к. она аналитическая в замкнутой области. В силу Утв1 и Утв2 :

3)

Теорема Руше.

ЕСЛИ G – односвязная область, С – замкнутый контур, ограничивающий G, и аналитические в G и на С, на С, на С, - сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции , - сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции +, ТО .

Док-во:

1)

2)

3)

w

Вектор из начала координат в точку, при такой конфигурации образа С, ни одного оборота не совершит. .

4)

Пример. Найти количество нулей, которые имеет функция в круге .

,

при :

имеет нуль кратности 5 w имеет 5 нулей.

Утв. Если , то имеет n корней.

Док-во:

С:

имеет нуль кратности n, т.о. имеет n нулей.

Теорема. Если , аналитическая в G , то - аналитическая.

Док-во:

1)

2. аналогично доказываем

3. Из пунктов 1) и 2) следует, что для F выполнены условия Коши-Римана, следовательно F аналитическая.

Лекция 10

Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов

Теорема. Если при x=z, -изолированная особая точка f(z), имеет в нуль не ниже II порядка, не имеет особых точек на действительной оси, имеет конечное число особых точек, то , где распространяется на особые точки, лежащие выше действительной оси.

Док-во:

Возьмем круг такого радиуса, чтобы на нем и вне его не было особых точек, кроме бесконечности.

Y

R

-R R x

.

Пример. Найти интеграл:.

, ;

Операционное исчисление

Опр. Функция называется оригиналом, если:

1) определена при , и являются кусочно-непрерывными на любом конечном интервале,

2) при

3).

Утв. Если -многочлен степени n, то .

Док-во:

, по правилу Лопиталя ;.

Опр. называется изображением, соответствующим оригиналу f(t), если F(p) – интеграл Лапласа:

; .

Теорема. Если f(t) оригинал, то - изображение ,

1) сходится в полуплоскости ,

2) является в полуплоскости аналитической функцией от p.

Док-во:

1)

, таким образом F(p) сходится.

2) Аналитичность следует из теоремы, доказанной в предыдущей лекции.

След. Если F(p) – изображение некоторого оригинала, то

Зам. Если , то F(p) сходится равномерно.

Свойства преобразования Лапласа:

1. Линейность

2. Однородность.

.

Док-во для 2:

Теорема о дифференцировании оригинала.

Если f(t) – оригинал, -оригинал, F(p)-изображение f(t), ,

то .

Док-во:

.

Следствие. Если -оригиналы, то .

Док-во:

далее по индукции.

Теорема о дифференцировании изображения.

Если , то .

Теорема об интегрировании оригинала.

Если , то .

Док-во:

1) Докажем, что -оригинал. а) кусочная гладкость – по свойству интеграла.

б) , t>0 –очевидно.

в)

2) .

.

Лекция 11

Теорема об интегрировании изображения

Если f(t) – оригинал, – оригинал, то .

Док-во:

.

,

.

Теорема о запаздывание

Если -оригинал, , то .

Док-во:

.

Теорема смещения

Если , то .

Таблица соответствий

1. .

2.

3.

4.

5.

6.

.

7.

.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Опр. Сверткой функций f и g называется

Утв. Если , g(t) – оригиналы, то f*g(t) – оригинал.

Док-во:

Пункты 1) и 2) в определении оригинала очевидно выполнены. Докажем выполнение пункта 3).

,

, где

Теорема о свертках.

Если f(t), g(t) – оригиналы, , , то .

Док-во:

.

Лемма Жордана

Лемма1. Если f(z) – аналитическая в верхней полуплоскости, за исключением, быть может, конечного числа точек, - полуокружность в верхней полуплоскости .

Док-во:

;

.

Лекция12

Лемма2. Если f(z) – аналитическая в левой полуплоскости, , то .

Док-во:

.

Лемма3.

Если f(z) аналитическая, , то.

y

R

x

Док-во:

1. Докажем, что .

.

2)Если аналогично.

3) по Лемме 2.

4) Из пунктов 1), 2), 3) следует .

Лемма4. Если f(z) аналитическая , ,

то

Докозательство следует из Леммы3.

Теорема об интеграле Фурье.

Если f(t) кусочно непрерывна и кусочно дифференцируема на R, то (сходится абсолютно).

Теорема обращения преобразования Лапласа.

Если f(t) – оригинал, , то .

Док-во:

;

;

;

Теорема разложения. , для выполнены условия леммы Жордана, то .

Док-во:

.

Пример.

;

;

.

Лекция13