ЛЕКЦИИ
по
Теории Функций Комплексного Переменного
Автор: Каменский А.Г.
Набор: Шатов А.Н.
e-mail: nclog@bk.ru
2003г.
Лекция №1
Комплексные числа
Опр. x+iy – комплексное число, где x,y – действительные числа, i – мнимая единица.
;
Опр. Комплексное число – упорядоченная пара действительных чисел: z=(a,b).
Пусть
=(a,b);
=(c,
d);
+
=(a+c,
b+d);
g
=
(ga,
gb),
где g
– действительное число;
=(ac-bd,
ad+bc);
(0,1)=i;
(0,1)(0,1)=(-1,0);
z=(x,y)=x(1,0)+y(0,1)=x+iy;
;
y
(x,y)
x
|z|
=
=
r;
arg
z=
= arctg
- аргумент комплексного числа;
Arg
z
=
+ 2
- главный аргумент;
z = r(cos
+ i*sin
)=
r
;
=
cos
+ i*sin
- формула
Эллера.
=
+i
=
(cos
+i*sin
);
=
+i
=
(cos
+i*sin
);
=
(cos(
+
)+i*sin(
+
));
=
(cos
n
+sin
n
);
(cos
+
i*sin
),
k=0,1,…,n-1;
=
x-iy
z
=|z
=
;
Топология комплексной плоскости
Опр.
- расстояние между числами
.
Опр.
-окрестностью
z
называется множество всех таких точек
:
Опр.
=
w
Опр. Множество М называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Опр. Множество называется открытым, если каждая его точка принадлежит ему с некоторой ее окрестностью.
Опр. Множество называется связанным, если всякие его две точки можно соединить ломанной с конечным числом звеньев, целиком принадлежащих этому множеству.
Опр. Открытое связанное множество называется областью.
Опр. Множество называется односвязанным, если оно ограничено одной несамопересекающейся замкнутой кривой и оно связанное.
Опр. Множество называется двусвязанным, если оно ограничено двумя несамопересекающейся замкнутыми кривыми и оно связанное.
Функции комплексного переменного
Опр.
Если даны множества М и G
на комплексной плоскости и каждому z
из M
соответствует w
из G,
то говорят, что
функция
.
Опр. 
;
Опр.
(1)
-
степенной ряд.
Утв. Ряд (1) сходится
внутри круга
и расходится вне его. При
он
сходится равномерно.
Некоторые разложения:
;
;
;
Докажем формулу Эллера:
=
cos
+ i*sin
;
;
-доказывается
умножением рядов.
;
;
Периодичность
функции
:
;
Опр.
=
,
если
Опр.
Множество точек z:
называется окрестностью бесконечно
удаленной точки.
Лекция 2
Дифференцируемость функций комплексного переменного
Опр.
,
если этот lim
и не зависит от того, как
стремится к нулю.
Если z=z+iz,
то
Теорема.
Если
дифференцируема
в точке z
и
,то
в точке z
выполняются условия Коши-Римана:
Док-во:
Y
z+
z
z+
X
;
;
.
Теорема. Если u и v дифференцируемые функции в точке z и для них выполнены условия Коши-Римана, то w=u+iv будет дифференцируемой в точке z.
;
;
;
Опр. Функция f(z) наз. Аналитической в точке z, если она дифференцируема в точке z и в некоторой ее окрестности.
Пример.
условия Коши-Римана выполняются
Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части.
Опр.
Функция
называется гармонической в области G,
если в этой области выполняются условие:
Утв. Если функция аналитическая, то ее действительная и мнимая части – гармонические функции.
Док-во:
;
;
т.к.
,
складывая эти равенства, получаем
,
т.е.
u – гармоническая функция. Аналогично v - гармоническая функция.
Доказано.
Пример.
Опр. Функция f(z) называется однолистной в области G, если:
Пример.
- не однолистная на всей плоскости
- однолистная в
области
Поверхности Римана
1.
z
х
W v
-
+
-
-
+
y u
+
Разрежем плоскость
W
по лучу Ох. Верхний край первой плоскости
соединим с нижним краем второй, верхний
край второй соединим с нижним краем
третей и т.д. до n.
Верхний край n-ой
плоскости склеим с нижним краем первой.
Получим поверхность Римана для функции
.
2
.
y + v
-
+
+
x u -
Лекция 3
Конформные отображения
Опр. Отображение обладающие свойствами консерватизма углов и постоянства растяжений называется конформным.
Теорема. Если
аналитическая функция в области G
в G,
то
задает конформное отображение области
G.
Док-во:
y
v
w
z
x
u
;
;
;
;
- постоянство
растяжений.
- консерватизм
углов.
Доказано.
1. Линейная функция.
1)
-
параллельный перенос.
2)
При линейном преобразовании прямые переходят в прямые, окружность переходит в окружность.
2. Дробно-линейная функция.
,
т.е. дробно-линейное преобразование
сводится к линейному и функции
.
Опр. Обобщенная окружность:
,
т.е. это окружность или прямая.
Теорема. Дробно-линейная функция отображает обобщенную окружность в обобщенную окружность.
Док-во:
- обобщенная окружность.
Опр.
Точки B
и С - сопряженные относительно окружности
Г, если любая окружность
,
проходящая через эти точки, ортогональна
Г.
Лемма. Если точки
В и С явл. Сопряженными относительно
окр-ти с центром О, А-точка пересечения
Г и
.,
то
.
Утв.
Если
дробно – линейное отображение, то
переводит точки, сопряженные относительно
окружности, в точки, сопряженные
относительно ее образа.
Z W
А С
В
O
;
,
т.е. сопряженными являются точки 0 и
.
Примеры решения задач:
Задача 1.
Отобразить полуокружность в единичный круг.
Z
W
-1 1
Решение:
и
сопряженные относительно Ох, т.е.
действительная ось отображается в
окружность.
; 
-
искомое отображение.
Задача 2.
Отобразить отрезок в единичный круг.
Z
3i
i
Решение:
- отобразить отрезок в
;
;
;
;
Задача 3.
Отобразить полосу в единичный круг.
-
2
Решение:
;
;
;
;
;
;
Функция Жуковского
; 
;
;
,
1)
- эллипс
2)
- функция, обратная
функции Жуковского.
Теорема Римана
Если G – односвязная область, граница которой состоит более чем из одной точки, то существует аналитическая функция, задающая конформное отображение G на единичный круг.
Лекция 4
Интеграл функции комплексного переменного
Пусть на комплексной плоскости задана кривая L - кусочногладкая, конечная, ориентированная.
;
Опр.
- некоторая функция
,
где
.
Существование интеграла и методы его вычисления.
Утв1.
Если
;
u
и v
– непрерывные функции; дуга L
– кусочно гладкая, то
соответствующие криволинейные интегралы
и
.
Док-во:
Утв2.
Если
,
u
и v
– непрерывные, дуга L
– кусочно гладкая, то
.
Док-во:
По Утв1
;
;
.
Свойства интеграла
1.
2.
3.
4.
,
где -L
– обход дуги L
в обратную сторону.
5. Если
,
то
,
где
-длина
L.
Док-во:
длина
хорды.
Замечание. Криволинейный интеграл существенно зависит от кривой.
Утв.
.
Док-во:
.
След.
Утв.
где
Док-во:
(
)
Основная теорема Коши для односвязаной области
Если G
– односвязная область,
- аналитическая внутри G.
Г – замкнутый контур, лежащий внутри
G,
то
Док-во:
G
Г
Из Утв1.
(1)
Из теории криволинейного интеграла известно, что
если
,
(2)
то
(3)
т.к. f – аналитическая, то выполнены условия Коши – Римана:
в
силу (2) и (3) из (1) следует, что
След.
Если дуги
и
соединяют
точки А и В и, при этом дуга
обходится в направлении от А к В, а дуга
обходится в направлении от В к А, то
Док-во:
.
Зам. Для аналитической функции важны лишь начало и конец дуги.
Основная теорема Коши для многосвязной облости
Теорема.
Если G
– многосвязаная область, связанная
некоторыми контурами,
- аналитическая функция в G
и на границе G,
то интеграл по границе области G,
проходимой по следующему правилу: при
прохождении контура непосредственно
примыкающая к нему область должна
находится по левую руку (Г проходится
по часовой стрелке, а
-по
стрелке) равен нул
ю.
G
Док-во:
1)
- аналитическая функция на границе,
следовательно
- аналитическая в каждой точке границы
- аналитическая в каждой точке границы
и в некоторой ее окрестности. Покроем
границу окрестностями ее точек. Т.к.
граница – компакт, то можно выделить
конечное подпокрытие. Расширим область
аналитичности, используя это покрытие
граница
погружена в область аналитичности.
2) Разрежем область
G
по
-
получим односвязную облость. Граница
области G
и линия разреза(граница новой области)
лежат в области аналитичности функции
.
3)
След. Если
лежит внутри Г,
- аналитическая в области между Г и
и на них, то
Док-во:
Лекция 5
Интегральная формула Коши
Теорема. Если
-аналитическая
функция в G,
G
– односвязная область,
Г- замкнутый контур,
лежащий внутри G,
z
лежит внутри G,
z
лежит внутри Г, то
.
Док-во:
Пусть
-окружность
.
1)
-функция
аналитическая между Г и
.
2)
умножим
на
и
разделим на 2
.
3)
,
таким образом разность между функциями
меньше любого, сколь угодно малого
числа, т.е. равна нулю. Следовательно,
функции равны.
Замечание. Функция заданная на контуре Г, однозначно определена в любой точке, лежащей внутри Г.
Теорема.(для
многосвязной области)
Если G
- многосвязная область, ограниченная
контурами Г и
,
С – граница G,
С=
,
-аналитическая
функция в G
и на С, то
.
Док-во:
1)Покроем границу
окрестностями ее точек, выделим конечное
подпокрытие, расширим область
аналитичности. Разрежем G
по
получим односвязную облость.
Г
2) По теореме для односвязной области
.
Интеграл с переменным верхним пределом от аналитической функции
Лемма.
Если
-непрерывная
функция в области G,
,
не зависит от выбора контура, соединяющего
точки
и z,
то
.
Док-во:
z z+h
,
Теорема.
Если
-аналитическая
функция в области G,
,
то
.
Док-во:
-аналитическая
функция
непрерывна, интеграл независит от
контура
условия
леммы выполнены.
.
Утв.
-
аналитическая функция,
,
то
.
Док-во:
Формула Ньютона-Лебница
Утв.
Если f(z)
аналитическая в некоторой области,
,
то
.
Док-во:
;
Интеграл типа Коши
Теорема.
Если L
– конечный контур, z
L,
,
,
f(z)
непрерывная функция на L,
,
то
является аналитической в точке z,
.
Док-во:
-длина
L.
Таким образом, разность между функциями меньше любого сколь угодно малого числа, т.е. равна нулю. Следовательно, функции равны.
Замечание. Продифференцировав F(z) по z, мы получили бы тот же результат, что и в теореме, но с меньшими усилиями. Однако мы не имеем права дифференцировать функцию комплексного переменного по параметру.
Следствие. Интеграл Коши является частным случаем интеграла типа Коши.
Таким образом аналитическая функция бесконечное число раз дифференцируема и производная аналитической функции выражается через интеграл.
Теорема Морера.
Если
непрерывна в области G,
,
не зависит от выбора контура, соединяющего
точки
и z,
то
-аналитическая
функция в области G.
Док-во:
по лемме
,
т.е. f(z)
бесконечное число раз дифференцируема
f(z)
аналитическая.
Лекция 6