28. Закон распределения случайной величины как отражение условий работы конструкции

Законом распределения случайной величины называют соотношение, позволяющее определить вероятность нахождения случайной величины в любом интервале ее возможных значений. Аналитическим выражением закона распределения случайной величины наработки до отказа t является функция распределения F, равная вероятности Q того, что случайная величина t примет любое значение, меньшее заданной наработки Т

F(t) = Q(t < T)

Следовательно, вероятность отказа за время t численно равна функции F(t) распределения времени наработки системы на отказ. Этот важнейший вывод позволяет непосредственно использовать общие закономерности и свойства функции распределения для определения показателей надежности, т.е. функция распределения случайной величины является ее исчерпывающей вероятностной характеристикой.

29. Статистическая процедура: теория выборочного метода, статистические выводы, прогнозирование

Выборочный метод, статистический метод исследования общих свойств совокупности каких-либо объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку. Математическая теория Выборочный метод опирается на два важных раздела математической статистики - теорию выбора из конечной совокупности и теорию выбора из бесконечной совокупности. Основное отличие Выборочный метод для конечной и бесконечной совокупностей заключается в том, что в первом случае Выборочный метод применяется, как правило, к объектам неслучайной, детерминированной природы (например, число дефектных изделий в данной партии готовой продукции не является случайной величиной: это число - неизвестная постоянная, которую и надлежит оценить по выборочным данным

Статистический вывод - процесс получения обобщений относительно генеральных совокупностей на основе данных выборки.

Прогнозирование на основе данных, имеющих нечисловую природу, в частности, прогнозирование качественных признаков основано на результатах статистики нечисловых данных. Весьма перспективными для прогнозирования представляются регрессионный анализ на основе интервальных данных, включающий, в частности, определение и расчет нотны и рационального объема выборки, а также регрессионный анализ нечетких данных.

Основными процедурами обработки прогностических экспертных оценок являются проверка согласованности, кластер-анализ и нахождение группового мнения. Проверка согласованности мнений экспертов, выраженных ранжировками, проводится с помощью коэффициентов ранговой корреляции Кендалла и Спирмена, коэффициента ранговой конкордации Кендалла и Бэбингтона Смита. Используются параметрические модели парных сравнений — Терстоуна, Бредли-Терри-Льюса — и непараметрические модели теории Люсианов.

31. Статистические выводы: теория статистического оценивания (точечные и интервальные оценки), статистическая проверка статистических гипотез

Статистическая оценка - некоторая функция от результатов наблюдений, предназначенная для статистического оценивания неизвестных характеристик и параметров распределения вероятностей. Выделяется случай, когда распределение вероятностей принадлежит какому-либо известному семейству, зависящему от конечного числа параметров. О методах непосредственной С. о. функциональных характеристик распределения вероятностей, например, неизвестной функции распределения или его плотности, см. "Непараметрические методы математической статистики". Напр., если результаты наблюдений X1, ..., Xn - независимые случайные величины, имеющие одно и то же нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием a, то выборочное среднее - среднее арифметическое результатов наблюдений - и выборочная медиана

Meнабл = x(m), где m=(n+1)/2 при нечетном n,

Meнабл = (x(m)+x(m+1))/2, где m=n/2 при четном n,

где X(m) - элементы вариационного ряда, соответствующего результатам наблюдений X1, ..., Xn, являются С. о. неизвестного параметра a. Такие С. о., приводящие в конкретном случае к числовому значению параметра, называются точечными.

Сущность задачи проверки статистических гипотез

Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки [3, 5, 11]. Примерами статистических гипотез являются предположения: генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону; математические ожидания двух экспоненциально распределенных выборок равны друг другу. В первой из них высказано предположение о виде закона распределения, а во второй – о параметрах двух распределений. Гипотезы, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называют непараметрическими, в противном случае – параметрическими.