1. Дайте определение предела последовательности. Может ли последовательность иметь два предела? Ответ обоснуйте.

1) Число a называют пределом последовательности x_n lim_n_→∞x_n=a, если для любого положительного сколь угодно малого числа ε>0 существует номер n₀(ε) такое, что начиная с этого номера все члены последовательности x_n удовлетворяет неравенству 〡x_n-a〡<ε.

lim_n_→∞x_n=a ⇒ для любого ε>0 n_o(ε)∈N: n≥n_o ⇒〡x_n-a〡<ε.

2) Допустим, что lim_n_→∞x_n=a и lim_n_→∞x_n=b, причем a≠b.

Пусть ε – такое малое положительное число, что U_a(ε)=(a-ε,a+ε) и U_b(ε)=(b-ε,b+ε) не имеют общих точек.

U_a(ε)∩U_b(ε) не является пустым множеством

lim_n_→∞x_n=a⇒ε>0 n₁∈N: n≥n₁⇒x_n∈U_a(ε)

lim_n_→∞x_n=b⇒ε>0 n₂∈N: n≥n₂⇒x_n∈U_b(ε)

n₀=max{n₁, n₂}⇒n≥n₀⇒⇒U_a(ε)∩ U_b(ε)≠∅

Допущение неверно насчет a≠b.

2. Дайте определение дифференциала ф-ции в точке. Используя дифференциал, найдите приближенное значение для: ln 1,05.

Дифференциалом функции в точке х₀ называется линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.

df(х₀)= f ′ (х₀) ∆х; ∆х=dх; df(х₀)= f ′ (х₀) dх

3. Дайте определение локального экстремума функции двух переменных. Имеет ли функция f(x,y) = xy² локальный экстремум в точке (0;0)? Ответ обоснуйте.

Точка M_o называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x,y), если существует такая окрестность точки M_o, в которой для любой точки M(x,y) выполняется неравенство f(M)≤f(M_o) (f(M)≥ f(M_o))

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума или просто точками экстремума.

f(x,y)=xy² M_o(0,0), M(Δx, Δy)

f(0,0)=0, f(M)= ΔxΔy²

f(M)-f(M_o)= ΔxΔy²

f(M)-f(M_o) ≥0 если Δx≥0

M_o(0,0) не является точкой

f(M)-f(M_o)≤0 если Δx≤0 локального экстремума (по определению)

4. Найдите предел последовательности: lim (-4n) =