1. Докажите ограниченность сходящейся последовательности.

Любая сходящаяся последовательность ограничена

lim_n_→∞x_n=a ⇒ ε>0 n_o(ε)∈N: n≥n₀⇒ x_n∈U_a(ε)

Начиная с n₀ члены последовательности лежат в U_a(ε), конечное число начальных членов последовательности лежит вне U_a(ε). Очевидно, что найдется [c;d], который “накроет” как интервал (a-ε;a+ε), так и все начальные члены последовательности, не входящие в интервал.

2. Сформулируйте теорему Роля. В чем состоит ее геометрический смысл.

Теорема Ролля

Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой .

Геометрический смысл. Геометрический смысл теоремы Ролля: если функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая внутри ее, на концах этого отрезка принимает одинаковые значения, то хотя бы в одной внутренней точке этого отрезка касательная к графику функции параллельна оси Ох (Рис. 5.6.2).

3. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.

Если для ряда с положительными членами существует такое число q<1, что при всех n (или, начиная с некоторого n) выполняется неравенство (*), то ряд сходится. Если же для всех или начиная с некоторого n, то ряд расходится.

Доказательство. Отбросив, если необходимо, несколько первых членов ряда, можно считать, что неравенство (*) выполняется для всех п=1, 2, …Перепишем это неравенство в виде . Отсюда имеем и т. д.; вообще, при любом п справедливо неравенство . Это показывает, что члены ряда . Не превосходят соответствующих членов бесконечной геометрической прогрессии . Поскольку по условию <1, эта прогрессия сходится. В силу первого признака сравнения сходится и данный ряд. В случае, когда , имеем неравенство , т. е. члены ряда образуют неубывающую последовательность, и поэтому не выполняется необходимый признак сходимости ряда, что доказывает теорему полностью.