Билет 4

1) Предел последовательности. последовательности , если для любого положительного числа существует такой номер , начиная с которого все члены последовательности отличаются от а по модулю меньше, чем на .

.

Предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме пределов двух сходящихся последовательностей. Если и , то

пр1

.

пр2.

,

2 Дайте определение производной функции в точке.

, где , а

Геометрический смысл производной состоит в том, что f′(x0) – это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0,f(x₀))_.

Да следует:

3) Функция y=f(x) ограниченная на отрезке [a,b] называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множество нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a,b]. Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то единственное число разделяющее эти два множества, называется определенным интегралом функции y=f(x) на отрезке [a,b] и обозначается

Как бы ни разбили Т, в любом отрезке разбиения обязательно есть рациональные и иррациональные точки, поэтому для любого отрезка и . Тогда все нижние суммы Дарбу т.к.все и все верхние Дарбу , т.к -длина отрезка [0,1] . Так множество нижних сумм состоит их одного числа и множество верхних сумм состоит их одного числа , так что любое число из отрезка разделяет множество X и Y. Значит, функция не является интегрируемой на отрезке [0,1]

4. Дайте определение однородной функции.Пусть D из Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая с каждой своей точкой (x₁, x₂, …., x_n) и все точки вида (tx₁, tx₂, …., tx_n) при t>0 функция f(x₁, x₂, …., x_n) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx₁, tx₂, …., tx_n)=t^λ f(x₁, x₂, …., x_n).

Пример однородной функции степени 3:

F (x,y)=x²

F (tx, ty)=t²x²√(tx*ty)=t³ F (x,y)

5. Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю. Эквивалентная формулировка: Если предел общего члена ряда не равен нулю или не существует, то данный ряд расходится.

Доказательство. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального n имеем , или (*). При обе частичные суммы и стремятся к пределу S, поэтому из равенства (*) следует, что . Мы установили только необходимое условие сходимости ряда, т. е. условие, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно доказывать только расходимость ряда.

Пример: В этом случае предел общего члена ряда, очевидно, равен нулю, однако ряд расходится. Действительно, если бы данный ряд сходился, то сходился бы и ряд , полученный из данного ряда группировкой членов. Но общий член последнего ряда равен 1, и для него не выполнен необходимый признак сходимости.

Билет№5

1.Дайте определение бесконечно большой последовательности. Что означает запись “lim_n→∞x_n=-∞”? Приведите пример двух бесконечно больших последовательностей, сумма которых является бесконечно малой последовательностью.

Последовательность {Un} называют бесконечно большой, если для любого, сколь угодно большого, числа А найдется такой номер N, что для всех членов последовательности, номера которых больше N, выполяется неравенство: | Un |>A.

Выражение lim_n→∞x_n=-∞ означает, что бесконечно большая последовательность состоит из отрицательных членов.

Рассмотрим две последовательности: {n} и {-}, причем lim_n→∞n=+∞ и lim_n→∞-n=-∞.

Тогда образуется новая последовательность: {n- }={-}, тогда lim_n→∞(-)=0, причем последовательность {-} – б.м.

2.Сформулируйте теорему Ролля.

Теорема Ролля

Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой .

f(a)=f(b) найдется хотя бы 1 точка с, в которой касательная к кривой параллельна оси ОХ.

3. Дайте определение интеграла с переменным верхним пределом. Докажите теорему Ньютона-Лейбница для определенного интервала.

Для функции y=f(x), интегрируемой на отрезке [a;b], интегралом с переменным верхним пределом называется интеграл вида f(t)dt, где

Пусть функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) – первообразная для f(x), тогда: f(x)dx=F(b)-F(a)

Доказательство:

Поскольку функция F(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке. Действительно, подставляя x=b, получим:

F(b)=f(t)dt, а подставляя x=a, получим: F(a)=f(t)dt=0 Поэтому: f(t)dt=F(b)-F(a) Если F(x) –другая первообразная для функции f(x), то выполняется равенство F(x)=Ф(x)+C

Имеем F(b)-F(a)=(Ф(b)+C)-(Ф(a)+C)=Ф(b)-Ф(a)=f(x)dx

4.Дайте определение замкнутого множества в R². Является ли множество D={(x,y) I 0<x≤3, 0<y≤6} замкнутым?

Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки, т.е. не являющиеся ни внутренними ни внешними для Х, то есть любая их окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки не принадлежащие Х.

Не является, т.к. содержит не все свои граничные точки.

5 Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами существует такое число q<1, что при всех n (или, начиная с некоторого n) выполняется неравенство (*), то ряд сходится. Если же для всех или начиная с некоторого n, то ряд расходится.

Доказательство. Отбросив, если необходимо, несколько первых членов ряда, можно считать, что неравенство (*) выполняется для всех п=1, 2, …Перепишем это неравенство в виде . Отсюда имеем и т. д.; вообще, при любом п справедливо неравенство . Это показывает, что члены ряда . Не превосходят соответствующих членов бесконечной геометрической прогрессии . Поскольку по условию <1, эта прогрессия сходится. В силу первого признака сравнения сходится и данный ряд. В случае, когда , имеем неравенство , т. е. члены ряда образуют неубывающую последовательность, и поэтому не выполняется необходимый признак сходимости ряда, что доказывает теорему полностью.

6.

7.

8.в т. М(-2;1) по напр =(3;4)

.

В т.М(-2;1):

9.

Билет№6

№2 возрастающая последовательность

, где , а

Геометрический смысл производной состоит в том, что f′(x0) – это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0,f(x₀))_.

№3 первообразная

- первообразная для

Применим теорему о среднем

где промежуточная точка с находится между x и , поэтому

Т.к. функция f(x) непрерывна и при то . Функция f(x) непрерывна на [a,b] имеет на этом отрезке первообразную.

№4Открытое множество

№5особое решение дифференциального уравнение

Особая – точка, в которой нарушается единственность задачи Коши.

Точки через которые не проходит ни одна интегральная кривая или проходит более одной интегральной кривой, называются особыми точками данного дифференциального уравнения . Может случиться , что некоторая интегральная кривая уравнения состоит из одних особых точек. Такая кривая называется особым решением уравнения

;

Через ось ОХ проходит по крайней мере две интегральные кривые -особое решение.

\

Билет 7

1 Число а называется правым (левым) пределом функции в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности x₁, x₂, x₃,…,x_n такой, что x_n<a (x_n>a) соответствующая последовательность сходится к А.

2 Пусть ф-ция определена в некоторой окрестности точки (∆=). Производной ф-ции в точке называется предел отношения , когда (при условии, что предел отношения существует). Обозначение .

31) Решение.

3 Несобственным интегралом ф-ции f(x) не ограниченной слева от т. b называется конечный предел определенного интеграла f(x) на [a;c₂].

Обозн. Если левый предел является конечным, то говорят, что интеграл от неограниченной функции слева от верхнего предела сходится, а если нет, то расходится (аналогично выводится от неограниченной справа в т. а

2) Аналогично несобственному интегралу с бесконечным верхним пределом (см. 85) Так при

Поскольку То значит интеграл сходится при

4 Если z=f(x;y) дифференцируема в точке (х₀;y₀), то в этой точке она непрерывна.

Пусть ф-ция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х₀;y₀), тогда справедливо

ф-ция z=f(x) непрерывна в точке (х₀;y₀).

5 Система n- функций наз линейно зависимой на мн-ве X , если хотя бы одна из них линейно выражается через остальные, напр

,

Если ни одна из них линейно н выр-ся через ост, то сист ф-ций наз. Линейно Независ

т.к.

y_1, y _2, …, y_k.

c₁ y₁+c₂ y ₂+…+ c_k y _k=0 для любого хD.

у=1, у=х, у=х² на R

c₁ 1+c₂ х+c₃ х²=0 для любого х R

Продифференцируем дважды:

c₂ +2c₃ х=0

2c₃=0

c₁+c₂ х+c₃ х²=0 c₁=0

c₂ +2c₃ х=0 c₂=0 у=1, у=х, у=х² – л.н.з.

2c₃=0 c₃=0

6. Lim_x→∞x(3^1/4x-1)~lim_x→∞x·(1/4x)·ln3=(ln3)/4

7. ∫(16x+5)lnXdx =16∫xlnXdx+5∫lnXdx= 8∫lnXdx²+5xlnX-5∫xdlnX= 16xlnX-16∫x·(1/x)dx+5lnX-5x=

21lnX-21x.

8. z(x,y)=x²+y²-2lnX-27lnY, x>0, y>0

z´_x=2x-2/x, z´_y=2y-72/y

z´_x=z´_y=0, x=1, y=6

(1,6) – стационарная точка

z´´_xx=2+2/x², z´´_yy=2+72/y², z´´_xy=0

2+2/x² 0

0 2+72/x^{2 >0 след. (1,6) – точка минимума}

9. y´-2(y/x)=-x²

y´-2(y/x)=0

dy/dx=2y/x

dy/y=2dx/x

lnY=2lnX+2lnC=2lnCX

y=e^2lnCX=CX²

y=C(x)·x²

y´=C´(x)x²+2x·C(x)

C´(x)x²+2x·C(x)- 2x·C(x)=-x²

C´(x)=-1, C(x)=-x+C

Y=-x³+Cx²

10.

Билет 9

1.определения предела Число называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу , т. е.

2.Теорема о произведения двух функций Если функции и дифференцируемы в точке то произведение этих функций также дифференцируемо и выполняется следующая формула: .

Доказательство: Пусть приращения функций вычисляются только в точке , так что

Из дифференцируемости функций и в точке следует их непрерывность в , поэтому и , когда . Следовательно,

3. Несобственный интеграл Пусть функция y=f(x) не ограничена на отрезке [a,b],но интегрируема на любом меньшем отрезке, где . Тогда если существует конечный предел , то его принимают за несобственный интеграл от неограниченной функции f(x):

сходится при т.е при .

4. Лкальный экстремум Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для всех и из некоторой окрестности точки выполняется неравенство:

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.

, => - локальный минимум.

5. Даламбер . Если существует предел

то ряд сходится в случае d<1 и расходится в случае d>1

Доказательство: Пусть d<1 Возьмем некоторое число q между d и 1 . Из условия следует что начиная с некоторого номера n, будет выполняться неравенство . На основание теоремы(признак Даламбера) отсюда следует сходимость ряда. Случай d>1 разбирается аналогично . В Формулировке этой теоремы ничего не говорится о случае d=1. При d=1 возможна как сходимость так и расходимость ряда . Например гармонический ряд, для которого d=1 расходится, а ряд для которого также d=1 сходится.

Билет 11

1. Определение предела последовательностиЧисло a называют пределом последовательности x_n lim_n→∞x_n=a, если для любого положительного сколь угодно малого числа ε>0 существует номер n₀(ε) такое, что начиная с этого номера все члены последовательности x_n удовлетворяет неравенству 〡x_n-a〡<ε.

lim_n→∞x_n=a ⇒ для любого ε>0 n_o(ε)∈N: n≥n_o ⇒〡x_n-a〡<ε.

. Пусть . Положим и найдем номер , начиная с которого для . Отсюда следует для всех . Заменим отрезок таким отрезком , чтобы в него попали не только числа , , но и все числа . Тогда будем иметь для всех , что означает ограниченность множества

2.Локальный экстремум Точка называется точкой локального max [min] ф-ции , если для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство

y max Локальный max и min объединяются общим названием локальный

экстремум.

x

x₀

Для того, чтобы дифференцируемая ф-ция имела в точке локальный экстремум необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство .

+ 0 +

но =0 не является точкой экстремума.

3. Формула Ньютона-лейбница f(x)dx= F(b)-F(a), где F(x)-любая первообразная для f(x) на [a;b].

Доказательство:

Из свойств неопределенного интеграла следует, что если F1(x)–первообразная для функции f1(x) , а F2(x)– первообразная для функции f2(x), то первообразная для суммы функций будет служить сумма первообразных

Следовательно

5. Уравнение Коши для уравненияПусть -нормальная форма уравнения 2 порядка. Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , при , , пример:

Билет 12

1)Непрерывная в точке. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке существует и равен значению в этой точке:



. При - функция непрерывна.

2 )Производной функции в точке в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (если этот предел существует).

Для обозначения производной функции применяются следующие символы ) или :

.

Четная всегда симметрична относительно оси ох поэтому до 0 производная идет в одном направлении, а после нуля точно также, но с другим знаком

f(x)=x⁴, x_о-произвольное число

f ′(x_о)= = ==4

3)Несобственный интеграл Пусть функция y=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a,b], т.е. существует определенный интеграл . Тогда за несобственный интеграл принимают предел функции , когда b стремится к бесконечности

сходится при , .

5) Определение: уравнение второго порядка вида: у^,,+р(х)у^,+q(х)у=f(x) , где у - искомая функция, р(х), q(х) и f(x) – непрерывные функции на некотором интервале (a, b), называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

и - решения дифура.

- решения однородного дифура.

Тогда .

Билет 15

1.Последовательность {x_n} бесконечно малой, если lim_x→∞x_n=0, т.е. {x_n} – бесконечно малая, если ε>0 n_o: n>n₀ ⇒ 〡x_n〡<ε.

произведение бесконечно малой и ограниченной последовательности является бесконечно малой последовательностью.

Sinn*1\x=0

2.)Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (если этот предел существует).

Для обозначения производной функции применяются следующие символы ) или :

.

f(x)=sinx, x_о-произвольное число

f ′(x_о)= =

==

3. Функция F(x) называется первообразной функции y=f(x) на промежутке X, если F’(x)=f(x) для любого x∈X.

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на X называется неопределенным интегралом этой функции.

. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

(∫f(x)dx)’=f(x)

(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)=f(x)

d∫f(x)dx=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx

4.Как связаны производные по направлению и градиенты

Билет 8

1. Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такой номер , начиная с которого все члены последовательности отличаются от а по модулю меньше, чем на .

.

а) (у каждого должен быть свой пример)

б) ;

2. Эластичностью функции в точке называется следующий предел .

Эластичность - это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.

1.

2.

3.

3. Несобственный интеграл Пусть функция y=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a,b], т.е. существует определенный интеграл . Тогда за несобственный интеграл принимают предел функции , когда b стремится к бесконечности