5. Подгруппы

Непустое подмножество Н элементов группы G называется подгруппой, если оно само образует группу относительно действия в G.

Из этого определения следует, что для любых элементов a, bH результат действия (a _ b) также принадлежит Н, нейтральный элемент eH является также нейтральным и в группе G. И, в силу единственности обратного элемента в группе, ясно, что обратный элемент для любого элемента h из Н будет обратным для h также во всей группе G.

Примеры подгрупп:

1) Аддитивная группа четных чисел является подгруппой группы ( ℤ , + ) целых чисел по сложению, последняя в свою очередь является подгруппой группы ( ℚ , + ) рациональных чисел по сложению, которая в свою очередь является подгруппой группы ( ℝ , + ) вещественных чисел по сложению. Все аддитивные группы чисел являются подгруппами группы комплексных чисел по сложению.

2) Мультипликативная группа ( ℝ ^>0,  ) положительных вещественных чисел по умножению является подгруппой мультипликативной группы ( ℝ \ {0}, ) вещественных чисел без нуля и не является подгруппой ( ℝ ,+ ), т.к. у них разные нейтральные элементы.

Конечные группы

Группа (полугруппа) называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов. Число элементов конечной группы называется её порядком. Любая подгруппа конечной группы конечна. И если НG – подгруппа группы G, то для любого элемента аG множество Н_а={х: x=h◦a, для любых hH} называется левым классом смежности для G относительно Н. Понятно, что число элементов в Н_а равно порядку Н. (Аналогично можно сформулировать определение _аН – правого класса смежности относительно Н).

Важно то, что для любой подгруппы Н группы G любые два левых (правых) класса смежности по Н либо совпадают, либо не пересекаются, поэтому любая группа может быть представлена как объединение непересекающихся левых (правых) классов смежности по Н.

Такое разбиение группы на левые (правые) классы смежности называется разложением группы по подгруппе Н.

Порядок конечной группы делится на порядок любой её подгруппы.

Если для любого элемента aG  Н_a = _аН (левый и правый классы смежности по подгруппе Н совпадают), то Н называется нормальным делителем группы G.

Утверждение: если G – коммутативная группа, то любая её подгруппа Н является нормальным делителем G.

Циклические подгруппы

Ввиду ассоциативности действия в группе (полугруппе) можно говорить о «произведении» трех элементов (а◦b◦c) =(а◦b)◦c = а◦(b◦c). Аналогично вводится понятие сложного произведения из n элементов: а₁◦а₂◦…◦а_n = ◦ а_n = = ◦.

Произведение n одинаковых элементов группы называется степенью элемента и обозначается aⁿ=. Это определение имеет смысл для любого натурального n. Для любого элемента группы aG обозначают а⁰=е – нейтральный элемент группы G. А отрицательные степени элемента a^‑n определяют как (a^‑1)ⁿ или (aⁿ)^‑1, где a^‑1 – обратный элемент к а. Оба определения a^‑n совпадают, т.к. aⁿ ◦(a^‑1)ⁿ = (а◦а◦ ◦а)◦(a^‑1◦a^‑1◦ ◦a^‑1) = а◦а◦◦(а◦a^‑1)◦a^‑1◦◦a^‑1 =еⁿ =e. Таким образом, (a^‑1)ⁿ = (aⁿ)^‑1.

Подгруппа А_g называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом g. Эта подгруппа всегда коммутативна, даже если сама G не коммутативна. Если группа G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то она называется циклической группой, порожденной элементом g.

Если все степени элемента g различны, то группа G называется бесконечной циклической группой, а элемент g – элементом бесконечного порядка.

Если среди элементов циклической группы имеются равные, например, g^k=g^m при k>m, то g^k‑m=e; и, обозначив k-m через n, получим gⁿ=e, nℕ.

Наименьший натуральный показатель n такой, что gⁿ=e, называется порядком элемента g, а сам элемент g называется элементом конечного порядка.

Такой элемент всегда найдется в конечной группе, но может быть и в бесконечной группе.

Группы, все элементы которых имеют конечный порядок, называются периодическими.