37. Перестановки, сполучення, комбінації : формули для обчислення.

Комбінаторика – розділ математики, в якому розв’язуються задачі вибору й розташування елементів множин за заданими правилами. До основних понять комбінаторики належать поняття розміщення, комбінації (сполуки) та перестановки. Перестановками k-елементної множини яких входять елементів і які відрізняються хоча б одним елементом або тим, що принаймні один елемент входить в різні сполучення різне число разів. , -з повтореннями. - без повторень.

Розміщеннями з n елементів по називаються будь-які впорядковані елементні підмножини n-елементної множини, що різняться одна від одної або своїми елементами, або їхнім порядком (якщо вибрані елементи не повторюються, то маємо розміщення без повторень, а якщо повторюються – розміщення з повтореннями. -без повторень, - з повторенням

38. Статистична перевірка гіпотез

Одна з основних задач математичної статистику полягає у підтвердженні або спростуванні певного припущення (гіпотези) відносно генеральної сукупності зробленої на основі вибіркової. Сама процедура зіставлення гіпотези з вибірковими даними нази­вається перевіркою статистичної гіпотези. Статис­тична гіпотеза підтверджується або спростовується, але ж ніяк не доводиться. Гіпотеза може бути правильною або неправильною, при її прийнятті або спростуванні можлива помилка, тому при проведенні статистичного тестування ми визначимо помилки 1 та 2 виду.

Статистична гіпотеза (гіпотеза) - це певне твердження (припущення) відносно генеральної сукупності, що перевіряється на основі вибірки. Гіпотеза називається парамет­ричною, якщо перевіряється припущення про параметри розподі­лу певного виду та непараметричною, якщо перевіряються гіпо­теза про вид невідомого розподілу.

Одна гіпотеза називається основною (або нульовою) її позна­чають Но, логічне заперечення основної гіпотези називається аль­тернативною та позначається Ні або На.

Гіпотеза, що фіксує єдине значення параметра, називають простою, в іншому випадку — складною.

Правило, за яким приймається рішення про прийняття або відхилення гіпотези Н₀, називають статистичним критерієм пе­ревірки гіпотези Н₀. Рішення приймають на основі вибірки Х₁,Х_2і ...Х_п , за якою формують спеціальну функцію вибірки Т_п — Т(Х₁,Х₂, ...Х_п\ цю функцію називають статистикою критерію.

Принцип перевірки гіпотез. Множина можливих значень статистики критерію Т_Гі розділяється на дві підмножини, що не перетинаються: критичну область S, тобто область відхилення гіпотези Но, та область S^---- прийняття цієї гіпотези. Якщо фак­тичне (спостережне, вирахуване на основі вибірки) значення критерію потрапляє в критичну область S то основна гіпотеза Н₀ відхиляється та приймається альтернативна Н₁ , в іншому випадку приймається основна гіпотеза, тобто відхиляється аль­тернативна.

Алгоритм проведення статистичного тестування

1. На основі вибірки Х₁,Х₂ , … Х_п сформулювати нульову та альтернативну гіпотези.

2. У кожному конкретному випадку підбирають статистику критерію Т_п= Т(Х₁,Х2,…Х_n) зазвичай, з нижче зазначених: U - нормальний розподіл, розподіл хі-квадрат; t - розподіл Стьюден- та, F- розподіл Фішера.

3. За статистикою критерію та рівнем значущості а у відпо­відній статистичній таблиці визначають критичне значення (критичну точку) та визначають критичну область S.

Межі областей визначаються відповідно до співвідношень для правосторонньої, лівосторонньої та двосторонньої областей

4. Для отриманої реалізації вибірки x₁, x₂, …, x_n розраховують спостережне значення критерію T_{спостер}=T(x₁, x₂, …, x_n) = t

5. Якщо розраховане значення t належить критичній області, то гіпотезу Но відхиляють; якщо ж t є S, тоді нема с підстав для відхилення основної гіпотези, тобто Но приймають.

6. У більшості випадків закон розподілу досліджуваної ви­падкової величини є невідомим, але є певні підстави для припу­щення, шо він є, наприклад, нормальним, показниковим, рівномір­ним, гіпергеометричним тощо.

Необхідно зробити висновок про те, чи узгоджуються ре­зультати спостережень із зробленим припущенням. Для цього ви­користовується спеціально підібрана величина - критерій згоди.

Критерієм згоди називають статистичний критерій перевірки гіпотези про можливий закон невідомого роз­поділу.

У математичній статистиці є багато критеріїв згоди, що на­звані, як правило, на честь вчених, які ці критерії сформулювали та довели: Пірсона, Колмогорова, Фішера, Смирнова та ін.