9. Свойства многочленов в двоичном поле gf(2)

1. Ненулевые элементы поля GF(2ⁿ) являются корнями

_n

обобщенного многочлена X ^{2 – 1} + 1.

2. Каждый многочлен р (Х) степени n, неприводимый над полем

_n

Галуа GF(2) является делителем двучлена X ^{2 – 1} + 1, и каждый

_n

делитель двучлена X ^{2 – 1} + 1, неприводимый над полем GF(2), имеет степень, равную n и менее.

3. Все элементы поля GF(2 ⁿ) можно получить как совокупность остатков от деления 100…00 на неприводимый многочлен р (Х),

_n

входящий в разложение двучлена (X ^{2 – 1} + 1). Эти остатки –

_n

корни двучлена (X ^{2 – 1} + 1), т.е. обращают его в нуль. Число остатков равно (2 ⁿ – 1).

4. В поле GF(2 ⁿ) существует примитивный элемент , такой, что каждый ненулевой элемент поля GF(2 ⁿ) может быть представлен как некоторая степень , т.е. мультипликативная группа GF(2 ⁿ) является циклической.

Пример. Определение элементов _i поля GF(2 ⁴).

Согласно свойству 1 ненулевые элементы поля GF(2 ⁴) являются

₄

корнями обобщенного двучлена (X ^{2 – 1} + 1) = (Х ¹⁵ + 1). Двучлен (Х ¹⁵ + 1) можно представить в виде произведения неприводимых многочленов – сомножителей:

(Х ¹⁵ + 1) = Р (Х ¹) • Р (Х ²) • Р₁ (Х ⁴) • Р₂ (Х ⁴) • Р₃ (Х ⁴),

где:

Р (Х ¹) = Х + 1,

Р (Х ²) = Х ² + Х + 1,

Р₁ (Х ⁴) = Х ⁴ + Х + 1,

Р₂ (Х ⁴) = Х ⁴ + Х ³ + 1,

Р₃ (Х ⁴) = Х ⁴ + Х ³ + Х ² + Х + 1.

В соответствии со свойством 3 вычислим элементы _i поля GF(2 ⁴) как совокупность остатков от деления 100…00 на неприводимый многочлен Р₁ (Х ⁴) = Х ⁴ + Х + 1.

Процедура определения остатков.

Делят на Р₁ (Х ⁴) = Х ⁴ + Х + 1  10011 единицу с возрастающим числом нулей, т.е. делят одночлены Х ^j, где j = 0, 1, 2, 3, …, на многочлен Х ⁴ + Х + 1. Степени одночленов Х ⁰, Х ¹, Х ², Х ³ меньше степени многочлена Р₁ (Х ⁴), поэтому первые четыре остатка от деления на Р₁ (Х ⁴) равны делимым, т.е. одночленам Х ⁰, Х ¹, Х ², Х ³.

Для одночлена Х ⁴  10000 получаем остаток:

	10000	10011
	10011
	0011	 Х 4

Для одночлена Х ⁵ 100000 получаем остаток:

	100000	10011
	10011
	00110	 Х 5

Таким образом, схема вычисления остатков:

       	1000000000000000	10011
	10011
	0011000	 Х 4
	10011
	10110	 Х 7
	10011
	010100	 Х 8
	10011
	011100	 Х 10
	10011
	11110	 Х 12
	10011
	11010	 Х 13
	10011
	10010	 Х 14
	10011
	0001	 Х 15 = Х 0

Результаты занесем в таблицу 1.9.1.

Таблица 1.9.1 – Вычисленные остатки и нулевые элементы ₀ - ₁₄ поля Галуа GF(2 ⁴)

Х j	Остаток	i
Х 0	0001	0
Х 1	0010	1
Х 2	0100	2
Х 3	1000	3
Х 4	0011	4
Х 5	0110	5
Х 6	1100	6
Х 7	1011	7
Х 8	0101	8
Х 9	1010	9
Х 10	0111	10
Х 11	1110	11
Х 12	1111	12
Х 13	1101	13
Х 14	1001	14

Поле Галуа GF(2⁴) построено как поле многочленов с коэффициентами 0 и 1 по модулю неприводимого многочлена

Р₁ (Х ⁴) = Х ⁴ + Х + 1  10011.

В поле Галуа GF(2 ⁿ) определены четыре алгебраические операции.

Операции сложения и вычитания выполняются как операции поразрядного сложения по модулю 2.

Операция умножения элементов поля выполняется как умножение соответствующих многочленов с приведением по модулю неприводимого многочлена Р (Х), т.е. многочлена, по модулю которого построены элементы поля GF(2 ⁿ).

Пример. ₅ = 0110, ₆ = 1100, ₅ + ₆ = 1010, так как

	0110
	1100
	1010

Пример. ₁₄ = 1001, ₁₄ • ₁₄ = ₁₃ по mod P₁ (X⁴)  10011.

	•	1001
		1001
	 1001 1001

1000001

	1000001	10011
	10011
	1101	 13

Чтобы выполнить деление элемента b на элемент а в поле GF(2 ⁿ) по модулю Р(Х), сначала находят обратный элемент а ^{– 1} (mod P (X)), а затем вычисляют

b • a ^{– 1} (mod P (X)).

Каждый двоичный вектор длиной n, исключая 0, является взаимно простым с неприводимым многочленом Р (Х) независимо от значения

Р (Х). Поэтому число вычетов, взаимно простых с Р (Х), равно

 (Р(Х)) = 2 ⁿ – 1 (расширение фугкции Эйлера для многочленов). Поэтому

_n

a ^{– 1} = a ^{ (Р(Х)) – 1} mod P (X) = a ^{2 – 2} mod P (X).

Пример. Пусть а = 100 и Р (Х) = 1011 в поле Галуа GF(2 ³).

₃

a ^{– 1} = 100 ^{2 – 2} (mod 1011) = 100 ⁶ (mod 1011) = 100 ² •100 ⁴ (mod 1011).

100 ² (mod 1011) = 10000  10110 = 110

или

	10000	1011
	1011
	110

100 ⁴ (mod 1011) = 110 ² (mod 1011) = 010

или

	•	110
		110
	 000 110 100

10100

	10100	1011
	1011
	010

100 ² •100 ⁴ (mod 1011) = 110 • 010 (mod 1011) = 1100 (mod 1011) = 111

или

	1100	1011
	1011
	111

Итак, а ^{– 1} = 111.

Проверка: а = 100, а ^{– 1} = 111, Р (Х) = 1011, а • а ^{– 1} = 110 • 100 = 11100.

 	11100	1011
	1011
	1010
	1011
	001

т.е. а • а ^{– 1}(mod 1011) = 1.