Постановка и решение задачи.

Рассмотрим в качестве игры n лиц, аналогичной дилемме заключенного, идеализированную игру многих фермеров, выращивающих коров. Первый фермер в состоянии поставить на рынок 15 коров, а второй — 20. Оптимальный объем продукции, пользующейся спросом — 15 коров, при этом цена за каждую корову будет 0.9 миллиона. Это идеальный вариант, но на рынок может быть поставлено 20, 25, 30 или 35 коров, так как первый фермер может поставлять на рынок 5, 10 или 15 коров, а второй — 10, 15 или 20. В этих ситуациях цена за корову будет соответственно 0.7, 0.5, 0.3, 0.1 миллиона. Платежная матрица данной игры такова:

После некоторых вычислений игроки могут найти свои максиминные стратегии, решив уравнения:

где

Если все фермеры дают ограниченную продукцию, цена высока и каждый в отдельности получает хороший доход. Если все дают полную продукцию, цена низка и каждый в отдельности получает мало дохода. Однако стратегия отдельного фермера незначительно влияет на уровень цен, так что независимо от стратегии других фермеров он при любых обстоятельствахокажется в лучшем положении, избрав стратегию «полной продукции». Итак, стратегия полной продукции доминирует над стратегией ограниченной продукции; но если каждый поступает разумно, все они получают мало.

На практике равновесия не может быть, так как фермеры могут вступать и иногда вступают в некоторое свободное соглашение. Кроме того, фермер играет в эту игру не один раз. Игра повторяется каждый год, а это вносит элемент соглашения. Наконец, иногда правительство думает так же, как мы, вмешивается и издает закон против таких игр. Конечно, в этом анализе мы не приняли во внимание потребителя. Если учесть потребителя, сговор может быть не желателен для общества, хотя и желателен для фермера.

Данная игра может неоднократно повторяться. Предположим, что при каждом повторении игроки делают выборы одновременно и после каждого испытания получают платеж, определяемый этим испытанием. Это равносильно предположению, что для каждого игрока полезности последовательности исходов равна просто сумме полезностей каждой составляющей игры.

Положим, что игроки тем или иным способом пришли к системе выбора . Поскольку игрок 1 имеет основание предполагать, что его противник «вероятно» выберет , у него может появиться соблазн выжать из следующей игры несколько больше, выбрав , а еще лучше . Однако он может предвидеть, что появление , наверное, повлечет в следующей игре выбор или , и таким образом, при выборе он потеряет часть дохода, получив сначала 7 или 5 вместо 4.5. Если же игрок 1 выбирает стратегию , то в последующих играх он может предвидеть появление выбора или . Стратегия — это идеальный вариант для игрока 1, так как он в этой ситуации получает максимум своего дохода. Однако при выборе он потеряет часть своего дохода. Для игрока 2 наилучшим вариантом является выбор игроком 1 , хотя выбор также является неплохой стратегией. Однако при выборе , аналогично игроку 1, он теряет максимальную часть своего дохода.

Итак, можно утверждать, что созерцание ожидаемого хаоса заставит игрока 1 придерживаться порядка, а если он неспособен столь отчетливо рассуждать о будущем, то небольшой опыт скоро наставит его на путь истинный. На основании этих доводов видно, что в повторной игре повторный выбор является своего рода квазиравновесием; ни одному из игроков невыгодно вызвать хаос, происходящий от неподчинения этой стратегии, хотя стратегия неподчинения приносит выгоду на короткое время (на одно испытание).

Интуитивно ясно, что квазиуравновешенная пара чрезвычайно неустойчива; всякая потеря «веры» в поведение противника вызывает цепочку действий, приводящую к потерям для обоих игроков. Рассмотрим этот процесс более подробно. Пусть игрокам сообщили, что игра будет проводиться два раза. Таким образом, каждый игрок до своего первого хода понимает, что во второй партии результат обязательно будет , ибо после того, как первая партия будет сыграна, вторую нужно рассматривать так, как если бы игра проводилась лишь однажды. Поскольку вторая партия полностью определена, первую партию можно истолковывать как игру, проводимую только один раз. Отсюда следует, что пара должна появиться в обоих испытаниях. В самом деле, если игрок 2 придерживается во всех испытаниях, то игроку 1 лучше выбирать во всех испытаниях и наоборот, т. е. является уравновешенной парой во всех испытаниях.