Общая постановка задачи.

Дана линейная функция

(5)

и система ограничений

, i = 1, 2,..., m, (6)

j = 1, 2,...n. (7)

Для каждого значения в интервале , где и — произвольные действительные числа, найти неотрицательный вектор , удовлетворяющий системе (6) и минимизирующий линейную функцию (5).

Решение задачи.

Процесс нахождения решения задачи с параметром в свободных членах системы ограничений включает следующие этапы:

1. Считая значение параметра равным некоторому числу , находят оптимальный план X* или устанавливают неразрешимость полученной задачи линейного программирования.

2. Находят значения параметра , для которых задача имеет один и тот же план или неразрешима. Эти значения параметра исключают из рассмотрения.

3. Выбирают значение параметра из оставшейся части промежутка и устанавливают возможность определения нового оптимального плана. В случае существования оптимального плана находят его двойственным симплекс-методом.

1. 

   Определяют множество значений параметра , для которых задача имеет один и тот же новый оптимальный план или неразрешима. Вычисления проводят до тех пор, пока не будут исследованы все значения параметра .

Геометрическая интерпретация задачи

Рассмотрим задачу с параметром в свободных членах системы ограничений на плоскости (двумерный случай). Для каждого значения найти неотрицательный вектор , минимизирующий линейную функцию при ограничениях

Рис. 2

Положим, что и изобразим условия задачи на рис. 2. Пусть на рис. 2 уравнению граничной прямой, содержащей параметр в свободном члене системы ограничений, соответствует прямая (L), проходящая через вершины A и E. Тогда величина отрезка OF =  соответствует . В этом случае функция Z достигает минимального значения в вершине А, образованной пересечением прямых (L) и AB, этой вершине соответствует первоначальный базис.

Увеличим значение параметра , тогда прямая (L) переместится в направлении вектора , величина отрезка OF уменьшится, а многоугольник решений расширится. При этом вершины, в которых прямая (Z) остается опорной к многоугольнику решений, а функция Z достигает минимального значения, определяются пересечением прямых AB и (L). Этим вершинам соответствует первоначальный базис, пока прямая (L) не пройдет через точку , т. е. займет положение (). Этому моменту отвечает значение параметра . Если после этого продолжать увеличивать значение параметра , то вершина , в которой Z достигает минимального значения, находится как пересечение прямой AB с осью . В этот момент произойдет переход к другому базису, и значение Z не будет зависеть от . Расширение многоугольника решений прекратится, когда прямая (L) пройдет через точку .

Для определения других возможных интервалов изменения параметра, исходя из первоначального положения прямой (L) положим, что . При этом прямая (L) начнет перемещаться в направлении, противоположном вектору , и многоугольник решений начнет сжиматься. Моменту, когда (L) пройдет через вершину B, т. е. займет положение (), соответствует значение . Если продолжать уменьшение , то вершины, в которых Z достигает минимального значения, будут образованы пересечениями прямых BC и (). Значит, при произойдет замена базиса, который и соответствует оптимальным планам, пока () не пройдет через вершину С, т. е. не достигнет положения (L₃). Этому моменту соответствует значение .

Если параметру придать значение , то граничная прямая (L₃) с остальными граничными прямыми AB, BC, CD, DE не образуют многоугольника решений и система ограничений превратится в несовместную, т. е. при задача не имеет решений.

Таким образом, интервалами оптимальности плана для различных значений параметра являются:

— планы не существуют;

— координаты точек ребра CB;

— координаты точек ребра ;

— координаты точки .

Пример задачи параметрического программирования.