
- •Математические методы системного анализа и теория принятия решений Методическое пособие
- •1. Теория принятия решений 4
- •2. Линейное программирование 9
- •3. Нелинейное программирование 42
- •4. Игровые методы обоснования решений 51
- •5. Задачи распознавания образов 62
- •Предисловие
- •1. Теория принятия решений
- •1.1. Задачи, связанные с принятием решений Проблема оптимальности.
- •Основные понятия и принципы исследования операций.
- •Примеры задач исследования операций.
- •1.2. Математические модели операций Искусство моделирования.
- •1.3. Разновидности задач исследования операций и подходов к их решению Прямые и обратные задачи исследования операций.
- •Пример выбора решения при определенности: линейное программирование.
- •Проблема выбора решений в условиях неопределенности.
- •Выбор решения по многим критериям.
- •«Системный подход».
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Краткое представление о математическом программировании Предмет математического программирования.
- •Краткая классификация методов математического программирования.
- •2.2. Примеры экономических задач линейного программирования Понятие линейного программирования.
- •Задача о наилучшем использовании ресурсов.
- •Задача о выборе оптимальных технологий.
- •Задача о смесях.
- •Задача о раскрое материалов.
- •Транспортная задача.
- •2.3. Линейные векторные пространства Основные понятия линейного векторного пространства.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Реализация метода исключения неизвестных в среде Excel.
- •Различные схемы реализации метода Гаусса.
- •Опорные решения системы линейных уравнений.
- •2.4. Формы записи задачи линейного программирования Основные виды записи злп.
- •Каноническая форма представления задачи линейного программирования.
- •Переход к канонической форме.
- •2.5. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования Определение выпуклой области.
- •Геометрическая интерпретация.
- •2.6. Свойства решений задачи линейного программирования Свойства основной задачи линейного программирования.
- •Графический метод решения задачи линейного программирования.
- •2.7. Симплексный метод Идея симплекс-метода.
- •Теоретические обоснования симплекс-метода.
- •Переход к нехудшему опорному плану.
- •Зацикливание.
- •Алгоритм симплекс-метода.
- •2.8. Двойственность в линейном программировании Прямая и двойственная задача.
- •Связь между решениями прямой и двойственной задач.
- •Геометрическая интерпретация двойственных задач.
- •2.9. Метод искусственного базиса Идея и реализация метода искусственного базиса.
- •3. Нелинейное программирование
- •3.1. Общая задача нелинейного программирования Постановка задачи.
- •Примеры задач нелинейного программирования (экономические).
- •Геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования.
- •3.2. Выпуклое программирование Постановка задачи выпуклого программирования.
- •3.3. Классические методы оптимизации Метод прямого перебора.
- •Классический метод дифференциальных исчислений.
- •3.4. Метод множителей лагранжа
- •3.5. Градиентные методы решения задач нелинейного программирования Общая идея методов.
- •Метод Франка-Вулфа.
- •Метод штрафных функций.
- •4. Игровые методы обоснования решений
- •4.1. Предмет и задачи теории игр Основные понятия.
- •Классификация выборов решений.
- •Антагонистические матричные игры.
- •Чистые и смешанные стратегии и их свойства.
- •4.2. Методы решения конечных игр Упрощение матричной игры.
- •Решение матричной игры размерностью 22.
- •Графическое решение матричной игры.
- •Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования.
- •4.3. Задачи теории статистических решений Игры с природой.
- •Критерии принятия решений.
- •5. Задачи распознавания образов
- •5.1. Общая постановка задачи распознавания образов и их классификация Проблема распознавания.
- •Обсуждение задачи опознавания.
- •Язык распознавания образов.
- •Априорные предположения — это записанные специальным образом, накопленные знания специалистов.
- •Общая постановка задачи.
- •Геометрическая интерпретация задачи распознавания.
- •Классификация задач распознавания.
- •5.2. Подготовка и анализ исходных данных Общая схема решения задачи.
- •Общая схема постановки и решения задачи Анализ данных с целью выбора постановки и метода решения
- •5.3. Методы опознавания образов Основные этапы процесса опознавания образов.
- •Методы создания системы признаков.
- •Признаковое пространство.
- •Сокращение размерности исходного описания.
- •Методы построения решающего правила.
- •5.4. Меры и метрики Понятие о сходстве.
- •Меры сходства и метрики.
- •Примеры функций мер сходства.
- •5.5. Детерминированно-статистический подход к познаванию образов Основные этапы детерминированно-статистического подхода.
- •Получение исходного описания.
- •Создание системы признаков.
- •Сокращение размерности исходного описания.
- •Нахождение решающего правила (метод эталонов).
- •Коррекция решающего правила.
- •5.6. Детерминированный метод построения решающего правила (метод эталонов) Идея метода эталонов.
- •Минимизация числа эталонов.
- •Габаритные эталоны.
- •Применение метода эталонов к частично пересекающимся образам.
- •Дополнительная минимизация числа признаков.
- •Квадратичный дискриминантный анализ.
- •Распознавание с отказами.
- •5.8. Алгоритм голотип-1 Назначение
- •Постановка задачи
- •Метод решения задачи.
- •Условия применимости.
- •Условия применимости.
- •5.10. Алгоритм направление опробования Назначение
- •Постановка задачи.
- •Метод решения задачи.
- •Условия применимости.
- •Транспортная задача Математическая постановка.
- •Постановка задачи.
- •Теоретическое введение.
- •Методы нахождения опорного плана транспортной задачи.
- •Определение оптимального плана транспортной задачи.
- •Заключение.
- •Целочисленное программирование Постановки задач, приводящие к требованию целочисленности.
- •Постановка задачи.
- •Методы отсечения.
- •Алгоритм Гомори.
- •Первый алгоритм р. Гомори решения полностью целочисленных задач.
- •Приближенные методы.
- •Заключение.
- •Параметрическое программирование Введение.
- •Формулировка задачи.
- •Теоретическая часть.
- •Общая постановка задачи.
- •Решение задачи.
- •Геометрическая интерпретация задачи.
- •Общая постановка задачи.
- •Решение задачи.
- •Геометрическая интерпретация задачи
- •Постановка задачи.
- •Решение.
- •Геометрическое решение.
- •Решение задачи симплекс-методом.
- •Результат.
- •Некооперативные игры n лиц с ненулевой суммой Введение.
- •Теоретическая часть.
- •Постановка и решение задачи.
- •Заключение.
- •Cписок литературы
Общая постановка задачи.
Дана линейная функция
(5)
и система ограничений
,
i = 1, 2,..., m,
(6)
j = 1, 2,...n.
(7)
Для каждого значения
в интервале
, где
и
— произвольные действительные числа,
найти неотрицательный вектор
,
удовлетворяющий системе (6) и минимизирующий
линейную функцию (5).
Решение задачи.
Процесс нахождения решения задачи с параметром в свободных членах системы ограничений включает следующие этапы:
-
Считая значение параметра
равным некоторому числу
, находят оптимальный план X* или устанавливают неразрешимость полученной задачи линейного программирования.
-
Находят значения параметра
, для которых задача имеет один и тот же план или неразрешима. Эти значения параметра
исключают из рассмотрения.
-
Выбирают значение параметра
из оставшейся части промежутка
и устанавливают возможность определения нового оптимального плана. В случае существования оптимального плана находят его двойственным симплекс-методом.
-
, для которых задача имеет один и тот же новый оптимальный план или неразрешима. Вычисления проводят до тех пор, пока не будут исследованы все значения параметра
.
Геометрическая интерпретация задачи
Рассмотрим
задачу с параметром в свободных членах
системы ограничений на плоскости
(двумерный случай). Для каждого значения
найти неотрицательный вектор
,
минимизирующий линейную функцию
при ограничениях
Рис.
2
Положим, что
и изобразим условия задачи на рис. 2.
Пусть на рис. 2 уравнению граничной
прямой, содержащей параметр в свободном
члене системы ограничений, соответствует
прямая (L), проходящая через вершины
A и E. Тогда величина отрезка
OF =
соответствует
.
В этом случае функция Z достигает
минимального значения в вершине А,
образованной пересечением прямых (L)
и AB, этой вершине соответствует
первоначальный базис.
Увеличим значение
параметра
,
тогда прямая (L) переместится в
направлении вектора
,
величина отрезка OF уменьшится, а
многоугольник решений расширится. При
этом вершины, в которых прямая (Z)
остается опорной к многоугольнику
решений, а функция Z достигает
минимального значения, определяются
пересечением прямых AB и (L). Этим
вершинам соответствует первоначальный
базис, пока прямая (L) не пройдет
через точку
,
т. е. займет положение (
).
Этому моменту отвечает значение параметра
.
Если после этого продолжать увеличивать
значение параметра
,
то вершина
,
в которой Z достигает минимального
значения, находится как пересечение
прямой AB с осью
.
В этот момент произойдет переход к
другому базису, и значение Z не будет
зависеть от
.
Расширение многоугольника решений
прекратится, когда прямая (L) пройдет
через точку
.
Для определения
других возможных интервалов изменения
параметра, исходя из первоначального
положения прямой (L) положим, что
.
При этом прямая (L) начнет перемещаться
в направлении, противоположном вектору
,
и многоугольник решений начнет сжиматься.
Моменту, когда (L) пройдет через
вершину B, т. е. займет положение (
),
соответствует значение
.
Если продолжать уменьшение
,
то вершины, в которых Z достигает
минимального значения, будут образованы
пересечениями прямых BC и (
).
Значит, при
произойдет замена базиса, который и
соответствует оптимальным планам, пока
(
)
не пройдет через вершину С, т. е. не
достигнет положения (L3). Этому
моменту соответствует значение
.
Если параметру
придать значение
,
то граничная прямая (L3) с
остальными граничными прямыми AB,
BC, CD, DE не образуют многоугольника
решений и система ограничений превратится
в несовместную, т. е. при
задача не имеет решений.
Таким образом, интервалами оптимальности плана для различных значений параметра являются:
— планы не
существуют;
— координаты точек
ребра CB;
— координаты точек
ребра
;
— координаты точки
.
Пример задачи параметрического программирования.