Транспортная задача Математическая постановка.

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления A1, A2, ..., An в n пунктов назначения B1, B2,..., Bт. При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Тогда математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции

(1)

при условиях

(2)

(3)

(i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n), (4)

где c_ij  — тарифы перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, а_i — запасы груза в i-ом пункте отправления, b_i — потребности в грузе в j-ом пункте назначения, x_ij — количество единиц груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения.

Постановка задачи.

Университет согласился принимать заказы четырех предприятий Дубны, чтобы выплатить студентам стипендию. Каждое предприятие желает получать соответственно 80, 60, 170 и 80 напечатанных листов текста. Тексты печатаются на трех кафедрах, которые выпускают соответственно 110, 190,90 листов. Каждое предприятие может принимать продукцию с любой кафедры. Определить оптимальный план перевозок выполненных заказов в пункты назначения, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной. Тарифы перевозок заданы матрицей

.

Теоретическое введение.

Планом транспортной задачи называется всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений (2) и (3), определяемое матрицей X= (i=1,2,..., m; j=1,2,...,n).

Оптимальным планом транспортной задачи называется план, при котором функция (1) принимает свое минимальное значение.

Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы.

	Пункты потребления
Пункты производства	В1	...	Вj	...	Вn	Запасы
А1	c11 x11	...	cij xij	...	c1n x1n	a1
...	...	...	...	...	...	...
Аi	ci1 xi1	...	cij xij	...	cin xin	ai
...	...	...		...	...	...
Аm	cm1 xm1	...	cmj xmj	...	cmn xmn	am
Потребности	b1	...	bi	...	bn

Очевидно, общее наличие груза у поставщиков равно , а общая потребность в грузе в пунктах назначения равна единиц. Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т. е.

, (5)

то модель такой транспортной задачи называется закрытой. Если же указанное условие не выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой.

Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, т.е. чтобы выполнялось равенство (5).

В случае превышения запаса над потребностью вводится фиктивный (n+1)-й пункт назначения с потребностью

bn+1 = ,

и соответствующие тарифы считаются равными нулю: c_in+1 = 0 (i=1,...,m). Аналогично, при превышении потребностей над запасами вводится (m+1)-й пункт отправления с запасом груза

am+1 =,

и тарифы полагаются равными нулю: c_m+1j = 0 (j=1,...,n). Этим задача сводится к обычной транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи.