5.6. Детерминированный метод построения решающего правила (метод эталонов) Идея метода эталонов.

Описываемый ниже детерминированный метод построения решающего правила с дополнительной минимизацией числа признаков позволяет реализовать решающую функцию любой сложности с помощью минимального числа аппаратурных единиц (заданного типа) при условии нулевой ошибки опознания на учебной выборке.

Пусть в области классов, заданные своими учебными выборками в пространстве признаков, не пересекаются. На рис. 5.7 иллюстрируется случай, на котором в двумерном пространстве признаков и изображены три образа — , , .

Каждый образ задается конечным числом реализаций учебной выборки. Точка, представляющая каждую реализацию, определяется совокупностью значений выбранных признаков. На рис. 5.7 границы образов обозначены пунктирной линией. Границы, установленные автоматом, могут существенно отличатся от интуитивных, что видно на рис. 5.8.

Идея метода эталонов основана на введении так называемых «функций принадлежности». Функция принадлежности к данной реализации образа определяет меру сходства (в определенной метрике) между произвольной точкой пространства и данной реализацией учебной выборки образа. На этой реализации, называемой эталонной, функция принадлежности принимает максимальное значение, равное единице. По мере удаления от реализации функция принадлежности монотонно убывает до нуля. На всех реализациях учебной выборки «чужих» образов функция принадлежности тождественно равняется нулю.

Введение функций принадлежности к каждой реализации учебной выборки образа позволяет безошибочно опознавать учебную выборку.

Совокупность этих функций определяет так называемую функцию принадлежности к образу.

С понятием функции принадлежности тесно связано понятие эталона. Эталон представляет собой замкнутое выпуклое геометрическое тело в многомерном пространстве признаков. Поверхность эталона образована геометрическим местом точек, в которых функция принадлежности обращается в ноль, а форма эталона зависит от принятой для конструирования функции принадлежности метрики.

На рис. 2 поверхности эталонов образованы эллипсами различных размеров и ориентацией. В многомерном пространстве им соответствуют гиперэллипсоиды (метрика ). Отношение осей эталонов каждого образа соответствует отношению максимальных разбросов реализаций данного образа по соответствующим осям. Другим примером эталонов является гиперпараллелепипеды (метрика ).

Эталон можно рассматривать как квантованную на два уровня функцию принадлежности, принимающую значение 1 на точках, попадающих внутрь эталона, на которых функция принадлежности больше нуля, и значение 0 на точках, находящихся вне эталона.

Использование эталонов вместо непрерывных функций принадлежности упрощает процесс принятия решения, но вместе с тем несколько ограничивает сложность конфигурации области образа.

Так, например, при построении эталонов в метрике область образа формируется только гиперэллипсоидальными поверхностями. В случае метрики область образа формируется из «кусков» гиперплоскостей, ориентированных по координатным осям.

Различие состоит еще и в том, что границы между образами, задаваемые с помощью непрерывных функций принадлежности, образуются как геометрическое место точек, на которых значение функций принадлежности к различным образам одинаково. При этом полученные области образов не могут пересекатся. Квантование функции принадлежности на два уровня при переходе к эталонам может привести к тому, что в тех местах, где отсутствуют реализации учебной выборки, сформированные области образов могут пересекаться.

В область пересечения реализации учебной выборки не попадают, однако реализации экзаменационной выборки могут попадать в эти области. В этом случае автомат будет выдавать ответы, которые классифицируются как ошибки типа альтернативной.

Альтернативные ошибки, появляются за счет пересечения эталонных оболочек образов, могут быть легко исключены, если на границах между образами непрерывные функции принадлежности тождественно равны нулю. Этого можно достигнуть, потребовав, чтобы функция принадлежности принимала значение единица на эталонной реализации данного образа и монотонно убывала до нуля на точках, отстоящих от нее на половину расстояния до ближайшей реализации «чужого» образа. Решающее правило, образованное из функций принадлежности такого типа, полностью соответствует решающему правилу из эталонов.

Эталоны являются дискретным аналогом непрерывной функции принадлежности.

Возможны два способа построения решающего правила из эталонов, отличающихся наличием и отсутствием областей пересечения эталонных оболочек образов. В обоих случаях внутри эталонных оболочек образов содержатся только реализации учебной выборки «своего» образа. Отличие заключается в том, что в первом случае на экзамене по контрольной выборке возможны альтернативные ошибки, а во втором случае этих ошибок не будет. Другим отличием является то, что минимальное число эталонов (из данного набора), покрывающих учебную выборку «своего» образа и не включающих ни одной реализации других образов, в первом случае будет меньше, чем во втором.