Классификация выборов решений.

Дадим классификацию задач на выбор решения, используя понятие «полезности».

Выборы решений обычно разбиваются согласно тому, принимает ли решение 1) индивидуум или 2) группа, и согласно тому, производится ли выбор а) при определенности, б) при риске или в) при неопределенности. К этой последней классификации мы по существу должны добавить г) сочетание неопределенности и риска на основании экспериментальных данных. Этот раздел относится к теории статистических выводов.

Различие между индивидуумом и группой является лишь функциональным. В теории игр индивидуумом считается как человек, так и организация, имеющая единый интерес, служащий мотивом ее решений. Всякое собрание таких индивидуумов, противоречия между которыми разрешаются либо открытым конфликтом, либо компромиссом, будет рассматриваться как группа.

Обратимся к классификации по признаку определенности — риска — неопределенности и допустим, что нужно сделать выбор между двумя действиями.

а) Выбор решений при определенности, если относительно каждого действия известно, что оно неизменно приводит к некоторому исходу.

б) Выбор решений при риске, если каждое действие приводит к одному из множества возможных частных исходов, причем каждый исход имеет известную вероятность появления.

в) Выбор решений при неопределенности, когда то или иное действие или оба действия имеют своим следствием множество возможных частных исходов, но вероятности этих исходов неизвестны или не имеют смысла.

Игра может быть со строгим и нестрогим соперничеством. Игра со строгим соперничеством (или, что равнозначно, с нулевой суммой) есть такая игра, в которой два игрока имеют прямо противоположные интересы.

Игра с нестрогим соперничеством (с ненулевой суммой) — это игра, в которой нет строгого соперничества. Большинство экономических, политических и военных столкновений интересов можно представить в форме игр лишь в том случае, если признать присущее им нестрогое соперничество.

Антагонистические матричные игры.

Самым простым случаем, подробно разработанным в теории игр, является конечная парная игра с нулевой суммой (антагонистическая игра двух лиц). Рассмотрим такую игру, в которой участвуют два игрока А и В, имеющие противоположные интересы: выигрыш одного равен проигрышу другого. Так как выигрыш игрока А равен выигрышу игрока В с противоположным знаком, мы можем интересоваться только выигрышем а игрока А. Цель игрока А — максимизировать свой выигрыш а, в свою очередь, цель игрока В — минимизировать эту же величину, которая является для него проигрышем. Пусть у игрока А имеется m возможных стратегий А₁, А₂, ..., А_m, а у игрока В — n возможных стратегий В₁, В₂, ..., В_n (такая игра называется игрой m  n). Выбор стратегии каждым игроком производится при полном незнании выбора другого игрока. Предположим, что для каждой пары стратегий А_i, В_j выигрыш a_ij нам известен. Тогда в принципе можно составить прямоугольную таблицу (матрицу), в которой перечислить стратегии игроков и соответствующие выигрыши.

Таблица 4.1.

Ai	Bj	B1	B2	...	Bn
A1		a11	a12	...	a1n
A2		a21	a22	...	a2n
...		...	...	...	...
Am		am1	am2	...	amn

Игра, представленная таким образом, называется матричной, а полученная таблица — платежной матрицей. Само по себе приведение игры к матричной форме уже может составить трудную задачу, а иногда и практически невыполнимую из-за необозримого множества стратегий. Заметим, что если игра приведена к такому виду, то многоходовая игра фактически сведена к одноходовой — от игрока требуется сделать только один ход: выбрать стратегию.

Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию А_i; тогда в наихудшем случае (например, если выбор станет известным игроку В) он получит выигрыш, равный . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш  :

 .

Величина  — гарантированный выигрыш игрока А — называется нижней ценой игры. Стратегия А_i, обеспечивающая получение , называется максиминной.

Игрок В, выбирая стратегию, исходит из следующего принципа: при выборе некоторой стратегии В_j его проигрыш не превосходит максимального из значений элементов j-го столбца матрицы, т. е. меньше или равен . Рассматривая множество для различных значений j, игрок В, естественно, выберет такое значение j, при котором его максимальный проигрыш  минимизируется:

 .

Величина  называется верхней ценой игры, а соответствующая выигрышу  стратегия В_j — минимаксной. Нижняя цена игры всегда не превосходит верхней цены игры. Если ==v, то число v называется ценой игры.

Фактический выигрыш игрока А при разумных действиях партнеров ограничен нижней и верхней ценой игры. Игра, для которой =, называется игрой с седловой точкой.

Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит выборе максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными.

Стратегии игроков, для которых вероятности u_i и z_i отличны от нуля, называются активными.