Классический метод дифференциальных исчислений.
Если известна функциональная связь целевой функции с искомыми переменными Y=f(x1, ..., xi, ..., xn, u1, ..., uj, ..., um), которая обладает непрерывными первыми частными производными, то, определив частные производные по своим искомым переменным, приравняв частные производные от Y по xi к нулю и решив совместно систему уравнений
(3.6)
найдем значения xi, дающие стационарные значения целевой функции, среди которых находятся оптимальные.
На первый взгляд кажется, что использование этого метода позволяет достаточно просто решать задачу определения оптимума нелинейной функции нескольких переменных. Однако это не так. Существует ряд трудностей при его реализации и ограничений по применению:
1) при большом
числе оптимизируемых параметров
рассматриваемый метод становится весьма
сложным в части решения системы уравнений
(i=1, 2, ..., n);
2) условие определения экстремума, выраженное системой уравнений (3.6), является необходимым, но не достаточным для решения задачи. Так как выражения (3.6) определяют положение стационарных точек внутри области, среди которых, кроме экстремальных, могут быть особые точки, учет достаточных условий нахождения экстремумов функции многих переменных является сложным как в алгоритмическом, так и в вычислительном плане. Так, достаточное условие существования min функции двух переменных достаточным условием существования min функции является положительная определенность матрицы
3) рассматриваемый метод дает возможность найти экстремум только в том случае, если он лежит внутри, а не на границе области возможных значений переменных, следовательно, требуется дополнительный анализ значений функции f(x1, ..., xi, ..., xn, u1, ..., uj, ..., um) на границах допустимой области изменения параметров (x1, ..., xi, ..., xn).
4) оптимизируемая функция f(x1, ..., xi, ..., xn, u1, ..., uj, ..., um) должна быть непрерывной и иметь первые и вторые производные по оптимизируемым параметрам;
5) необходимо, чтобы оптимизируемые параметры, определяющие значения минимума или максимума функции, были независимы, т. е. не должно быть дополнительных уравнений, связывающих между собой часть параметров.
Выбор того или иного метода решения экстремальных задач исследования операций зависит в основном от следующих факторов: принадлежности задачи исследования операций к тому или иному классу, от способа задания критерия оптимизации, от линейности или нелинейности математической модели решаемой задачи, от времени и средств, имеющихся в распоряжении ответственного за выработку оптимальных решений, от личных склонностей и уровня подготовки, от качества и количества информации об объекте оптимизации.
3.4. Метод множителей лагранжа
Пусть задана задача математического программирования: максимизировать функцию
Z=f(x1, x2, ..., xn) (3.7)
при ограничениях
gi(x1, x2, ..., xn)=0, i=1, ..., m.
Ограничения в задаче заданы уравнениями, поэтому для ее решения можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума функций нескольких переменных. При этом полагаем, что функции f(x1, x2, ..., xn) и gi(x1, x2, ..., xn)=0 (i=1, ..., m) непрерывны вместе со своими первыми частными производными. Для решения задачи составим функцию
F(x1,
x2, ..., xn, 1,
2,
..., m)=
f(x1, x2, ...,
xn)+
,
(3.8)
определим частные
производные
и
приравняем их к нулю. В результате
получим систему уравнений
(3.9)
Функция (3.8)
называется функцией Лагранжа, а
числа i
— множителями Лагранжа. Если функция
Z=f(x1, x2, ...,
xn) в точке X(0)=(
)
имеет экстремум, то существует такой
вектор
,
что точка
является
решением системы (3.9). Следовательно,
решая систему (3.9), получаем множество
точек, в которых функция Z может
иметь экстремальные значения. При этом
неизвестен способ определения точек
глобального минимума или максимума.
Однако если решения системы найдены,
то для определения глобального максимума
(минимума) достаточно найти значения
функции в соответствующих точках. Если
для функций Z=f(x1, x2,
..., xn) и gi(x1,
x2, ..., xn) (i=1...m)
существуют вторые частные производные
и они непрерывны, то можно вывести
достаточное условие существования
локального экстремума функции в точке,
являющейся решением системы (3.9). Однако
практическое значение этого условия
невелико.
Метод множителей Лагранжа имеет ограниченное применение, т. к. система (3.9), как правило, имеет несколько решений. Нелинейное программирование как новая математическая дисциплина возникла главным образом в связи с указанной ограниченностью метода множителей Лагранжа.
Таким образом, определение экстремальных точек задачи (3.8) методом множителей Лагранжа включает следующие этапы:
1. Составление функции Лагранжа.
2. Нахождение частных производных от функции Лагранжа по переменным xj и i и приравнивание их к нулю.
3. Решая систему уравнений (3.9), находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.
4. Среди точек, подозрительных на экстремум, находят такие, в которых достигается экстремум, и вычисляют значение функции (3.7) в этих точках.
П р и м е р 1. Найти точку условного экстремума функции Z=x1x2+x2x3 при ограничениях
Р е ш е н и е. Составим функцию Лагранжа
F(x1, x2, x3, 1, 2)=x1x2+x2x3+1(x1+x22)+2(x2+x22) и продифференцируем ее по переменным x1, x2, x3, 1 и 2. Приравнивая полученные выражения к нулю, получаем следующую систему уравнений:
Из первого и третьего уравнения следует, что 1=2= x2; тогда
Решая данную систему, находим: x1 = x2 = x3 =1, Z=2.