Переход к нехудшему опорному плану.
Т е о р е м а
3. Если k<0
для некоторого j=k и среди чисел aik
(
)нет
положительных, то целевая функция ЗЛП
не ограничена на множестве ее планов.
Т е о р е м а 4. Если опорный план Х ЗЛП не вырожден и k<0, но среди чисел aik есть положительные ( не все aik<0), то существует опорный план X’ такой, что Z(X’)>Z(X).
Сформулированные теоремы позволяют проверить, является ли найденный опорный план оптимальным, и выявить целесообразность перехода к новому опорному плану.
Исследование опорного плана на оптимальность, а также дальнейший вычислительный процесс удобнее вести, если условия задачи и первоначальные данные, полученные после определения исходного опорного плана, записать так, как показано в табл.1
табл.1
|
|
с1 |
с2 |
... |
сi |
... |
сm |
cm+1 |
... |
cj |
... |
cn |
|||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Базис |
Сб |
А0 |
A1 |
A2 |
... |
Ai |
... |
Am |
Am+1 |
... |
Aj |
... |
An |
|||
|
A1 |
с1 |
b1 |
1 |
0 |
... |
0 |
... |
0 |
a1,m+1 |
... |
a1,j |
... |
a1,n |
|||
|
A2 |
с2 |
b2 |
0 |
1 |
... |
0 |
... |
0 |
a2,m+1 |
... |
a2,j |
... |
a2,n |
|||
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|||
|
Ai |
сi |
bi |
0 |
0 |
... |
1 |
... |
0 |
ai,m+1 |
... |
ai,j |
... |
ai,n |
|||
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|||
|
Am |
сm |
bm |
0 |
0 |
... |
|
... |
1 |
am,m+1 |
... |
am,j |
... |
am,n |
|||
|
Zj-cj |
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
... |
0 |
m+1 |
... |
j |
... |
n |
||||
Зацикливание.
Зацикливание возможно только для вырожденных планов, т. е. на одной из итераций одна или несколько переменных опорого плана могут оказаться равными нулю, тогда возможен возврат к первоначальному базису. Теория и практика показывают, что зацикливание возникает при весьма маловероятном сочетании условий. При появлении цикла следует изменить послелдовательность вычислений путем изменения выбора разрешающего столбца. Другой способ рекомендует изменить выбор разрешающей строки.
Алгоритм симплекс-метода.
Симплекс-алгоргоритм состоит из следующих шагов. Итак, нахождение оптимального плана симплексным методом включает следующие этапы:
1. Находят опорный план.
2. Составляют симплекс-таблицу.
3. Выясняют, имеется ли хотя бы одно положительное число j . Если нет, то найденный план оптимален. Если же среди чисел j имеются положительные, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану.
4. Находят разрешающие столбец и строку. Разрешающий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине положительным числом j , а разрешающая строка — минимальным из отношений компонент столбца вектора А0 к положительным компонентам разрешающего столбца.
5. Определяют положительные компоненты нового опорного плана, коэффициенты разложения векторов Аi по векторам нового базиса и числа 0 и j.Все эти числа записываются в новой симплекс-таблице.
6. Проверяют найденный опорный план на оптимальность. Если план не оптимален и необходимо перейти к новому опорному плану, то возвращаются к этапу 4, а в случае получения оптимального плана или установления неразрешимости процесс решения задачи заканчивают.
Контроль: 1) все таблицы должны содержать положительные компоненты.
2) Оценки при базисных векторах всегда нулевые.
3) Последующие значения целевой функции меньше предыдущих.