2.5. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования Определение выпуклой области.

Пусть на плоскости xOy заданы две точки: А₁ (x⁽¹⁾ ; y⁽¹⁾) и А₂(x⁽²⁾ ; y⁽²⁾), определяющие прямолинейный направленный отрезок (рис.2.2). Найдем координаты произвольной внутренней точки А (x ; y) данного отрезка через координаты его начала и конца.

Векторы А₁А=(x–x⁽¹⁾; y–y⁽¹⁾) и A₁A=(x⁽²⁾–x⁽¹⁾; y⁽²⁾–y⁽¹⁾) параллельны и одинаково направлены, поэтому А₁А=t(A₁A₂), где 0 t 1, или x–x⁽¹⁾=t(x⁽²⁾– x⁽¹⁾), y–y⁽¹⁾=t(y⁽²⁾–y⁽¹⁾). Полагая 1–t=₁, t=₂, получаем

(2.43)

Учитывая, что в (2.43) координаты точки А являются суммами одноименных координат точек А₁ и А₂, умноженными соответственно на числа ₁ и ₂, окончательно имеем:

А=₁А₁+₂А₂, (2.44)

₁0,₂0, ₁+₂=1. (2.45)

Точка А, для которой выполняются условия (2.44) и (2.45), называется выпуклой линейной комбинацией точек А₁ и А₂. Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию. Геометрический смысл этого определения состоит в том, что множеству вместе с его двумя произвольными точками полностью принадлежит и прямолинейный отрезок, их соединяющий. Точка множества называется граничной, если любой шар сколь угодно малого радиуса с центром в этой точке содержит как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие ему. Граничные точки множества образуют его границу. Замкнутым называется множество, содержащее все свои граничные точки. Замкнутое множество называется ограниченным, если существует шар радиуса конечной длины с центром в любой точке множества, который полностью содержит в себе данное множество; в противном случае множество называется неограниченным. Пересечением двух (или нескольких) множеств называется множество, представляющее общую часть данных множеств. Точка A выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации каких-нибудь двух различных точек данного множества. Выпуклым многоугольником называется выпуклое замкнутое ограниченное множество на плоскости, имеющее конечное число угловых точек. Угловые точки многоугольника называются его вершинами, а отрезки, соединяющие две вершины и образующие его границу, — сторонами многоугольника.

Выпуклым многогранником называется замкнутое ограниченное выпуклое множество трехмерного пространства, имеющее конечное число угловых точек. Угловые точки многогранника называются его вершинами; многоугольники, ограничивающие многогранник, — гранями; отрезки, по которым они пересекаются, — ребрами.

Т е о р е м а 2. Замкнутый, ограниченный, выпуклый многогранник является выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек.

Доказательство. Рассмотрим многоугольник, имеющий n вершин.

1) Докажем, что любая точка треугольника удовлетворяет теореме. В треугольнике A₁А₂А₃ (рис.2.3) возьмем произвольную точку А₄ и через нее проведем отрезок А₁А₄.

Так как точка А принадлежит отрезку А₁А₄, то она — выпуклая линейная комбинация его концов, т. е.

А=t₁A₁ + t₄А₄, t₁  0, t₄  0, t₁+ t₄=1. (2.46)

Точка А₄ принадлежит отрезку А₂А₃, следовательно, является выпуклой линейной комбинацией его концов, т. е.

А₄=t₂А₂ + t₃А₃, t₂  0, t₃  0, t₂+ t₃ =1. (2.47)

Подставляя (2.47) в (2.46) получаем

А= t₁A₁ + t₄(t₂А₂ + t₃А₃)= t₁А₁ + t₂ t₄А₂ +t₃ t₄А₃.

Полагая t₁ = ₁, t₂t₄=₂, t₃t₄=₃, окончательно имеем

А=₁А₁ + ₂А₂ +₃А₃, ₁  0, ₂  0, ₃  0, ₁+₂+₃=1, (2.48)

т. е. точка А — выпуклая линейная комбинация вершин А₁, А₂, А₃.

2) В выпуклом многоугольнике, имеющем n вершин (n>3), добавляя к правой части соотношения (2.48) остальные n-3 вершины, умноженные на нуль, окончательно получим

А=₁А₁ + ₂А₂ +₃А₃ +0А₄ + ... +0А_n ,

_i0 (i=1,2,...,n), ,

т. е. точка А — выпуклая линейная комбинация угловых точек многоугольника.

Лемма 1. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть множество выпуклое (если оно не пусто).