Опорные решения системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными, причем m<n:

(2.8)

Базисом системы линейных уравнений называется максимальное количество линейно независимых векторов системы. Для данной системы это количество равно m . Воспользуемся методом последовательных исключений неизвестных и выделим в системе некий исходный единичный базис:

(2.9)

В полученной системе единичные вектора называются базисными, а вектора — свободными.

О п р е д е л е н и е  5. Базисными решениями называются решения системы, получаемые при приравнивании свободных неизвестных нулю.

О п р е д е л е н и е  6. Базисное решение называется невырожденным, если все базисные переменные полученного решения ненулевые, в противном случае базисное решение называется вырожденным.

Очевидно, что базисные решения проще находить, если система приведена к единичному базису, поэтому отыскание всех базисных решений сводится к последовательному преобразованию системы к всевозможным единичным базисам. Этого можно достигнуть путем последовательных преобразований однократного замещения.

Для выполнения одного преобразования однократного замещения нужно выбрать среди не единичных столбцов коэффициентов отличный от нуля разрешающий элемент A_qp и провести одно преобразование схемы последовательных исключений. Тогда разрешающий ( p-й ) столбец коэффициентов превратится в единичный, а, наоборот, единичный столбец, имеющий координату 1 в разрешающем q-м уравнении, станет не единичным. Это соответствует переходу в число базисных неизвестного x_p и, наоборот, выводу из числа базисных неизвестного, относительно которого было разрешено q-е уравнение.

При этом нужно следить за тем, чтобы в процессе преобразований не повторялся ранее встречавшийся базис. Для этого необходимо систематизировать расчеты.

Важно также запомнить, что если r — количество базисов, которые могут быть выделены из данной системы, то . Причем равенство достигается только в том случае, если ни один из векторов ни при каком из базисов не является вырожденной комбинацией.

О п р е д е л е н и е  7. Опорными решениями системы называются те базисные решения, которые имеют все неотрицательные значения неизвестных.

Конечно, их можно выделить, если найдены все базисные решения, но такой путь ведет к чрезвычайно сложным расчетам. Если же выбирать разрешающий элемент из дополнительных условий, то те же преобразования однократного замещения обеспечат переход не просто к базисным, а к опорным решениям. Эти дополнительные условия заключаются в следующем:

1) разрешающий столбец (номер p) выбирается так, чтобы в нем оказался хотя бы один положительный элемент A_ip > 0;

2) разрешающая строка (номер q) выбирается из условия, чтобы отношение было наименьшим из значений при A_ip > 0.

После выбора разрешающего элемента дальнейшие вычисления ведутся согласно обычным правилам преобразований однократного замещения.

Как и при определении базисных решений, здесь также необходимо следить, чтобы на какой либо итерации не вернуться к ранее найденному опорному решению. Это условие дополнительно ограничивает выбор разрешающего элемента.

Ï ð è ì å ð  3.  С помощью преобразований однократного замещения найти все базисы и опорные решения следующей системы уравнений:

Р е ш е н и е . Количество опорных решений данной системы линейных уравнений .

A1	A2	A3	A4	A5	A0	A0/A1	A0/A2						Опорные решения
-2	3	1	0	0	9		3			Базис			x1		x2		x3		x4		x5
1	1	0	1	0	8	8	8			A3,A4,A5			0		0		9		8		9
3	-2	0	0	1	9	3				A3,A4,A1			3		0		15		5		0
					min	3				A1,A2,A3			5		3		10		0		0
										A1,A2,A5			3		5		0		0		10
A1	A2	A3	A4	A5	A0	A0/A2	A0/A5	Шаг 1		A2,A4,A5			0		3		0		5		15
0	1,667	1	0	0,667	15	9	22,5
0	1,667	0	1	-0,33	5	3
1	-0,67	0	0	0,333	3		9
					min	3
A1	A2	A3	A4	A5	A0	A0/A5	A0/A4	Шаг 2
0	0	1	-1	1	10	10
0	1	0	0,6	-0,2	3		5
1	0	0	0,4	0,2	5	25	12,5
					min	10
A1	A2	A3	A4	A5	A0	A0/A4	A0/A3	Шаг 3
0	0	1	-1	1	10		10
0	1	0,2	0,4	0	5	12,5	25
1	0	-0,2	0,6	0	3	5
					min	5
A1	A2	A3	A4	A5	A0	A0/A1	A0/A3	Шаг 4
1,667	0	0,667	0	1	15	9	22,5
-0,67	1	0,333	0	0	3		9
1,667	0	-0,33	1	0	5	3
					min	3

Дальнейший перебор не приводит к нахождению новых опорных решений.

В предыдущем примере заданная система уравнений имела некоторый выделенный исходный базис. Если система не приведена к единичному базису, то для его нахождения необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1) начинаем с преобразования системы методом последовательных исключений, причем выбор разрешающего элемента на начальном этапе может быть совершенно произвольным;

2) если после приведения системы к единичному базису появились отрицательные свободные элементы, выберем среди них наибольший по абсолютной величине и вычтем почленно выделенное таким образом уравнение из всех остальных уравнений с отрицательными свободными членами. Само же выделенное уравнение перепишем, умножив все коэффициенты на -1;

3) дальнейшие преобразования системы будем проводить согласно правилам однократного замещения, выбирая разрешающий столбец из условия, чтобы он имел в выделенной строке положительный элемент. Для выбора разрешающей строки вычисляем отношения A_io к A_ip и берем в качестве разрешающей строку с минимальным полученным значением;

4) предположим, что после выполнения некоторого количества итераций (3) мы все же не смогли выделить базис полностью и пришли к таблице, в которой выделенная строка не имеет ни одного положительного элемента, кроме свободного члена. Очевидно, что процесс последовательных преобразований на этом обрывается, ибо становится невозможным выбор разрешающего столбца по указанному выше принципу. Нетрудно прийти к выводу, что в этом случае исходная система уравнений не имеет ни одного решения с неотрицательными значениями неизвестных, в том числе и опорного решения, или, как говорят, несовместна в области неотрицательных (допустимых) решений.

В случае, если исходная система имеет хотя бы одно опорное решение, после конечного числа описанных выше итераций будет получено исходное опорное решение.

Ï ð è ì å ð 4.  Найти исходное опорное решение системы уравнений, приведя ее к единичному базису при неотрицательных свободных членах:

Р е ш е н и е . 

A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A0	A0/Ak	Исходная матрица
1	1	0	-3	4	1	0	-6
1	-1	1	5	-4	6	0	8
0	1	-1	-6	5	-4	0	-12
1	0	0	1	3	1	1	-3
A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A0	A0/Ak	Шаг 1
1	1	0	-3	4	1	0	-6
0	-2	1	8	-8	5	0	14
0	1	-1	-6	5	-4	0	-12
0	-1	0	4	-1	0	1	3
A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A0	A0/Ak	Шаг 2
1	1	0	-3	4	1	0	-6
0	-2	1	8	-8	5	0	14
0	-1	0	2	-3	1	0	2
0	-1	0	4	-1	0	1	3
A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A0	A0/Ak	Шаг 3
1	2	0	-5	7	0	0	-8
0	3	1	-2	7	0	0	4
0	-1	0	2	-3	1	0	2
0	-1	0	4	-1	0	1	3
A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A0	A0/A4	Шаг 4
-1	-2	0	5	-7	0	0	8	1,6
0	3	1	-2	7	0	0	4
0	-1	0	2	-3	1	0	2	1
0	-1	0	4	-1	0	1	3	0,75
A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A0	A0/Ak	Шаг 5
-1	-0,75	0	0	-5,75	0	-1,25	4,25
0	2,5	1	0	6,5	0	0,5	5,5
0	-0,5	0	0	-2,5	1	-0,5	0,5
0	-0,25	0	1	-0,25	0	0,25	0,75

Исходная система уравнений не имеет опорных решений, так как несовместна в области неотрицательных (допустимых) решений.