Различные схемы реализации метода Гаусса.
При решении систем уравнений методом Гаусса важным моментом является выбор разрешающего элемента. В предыдущем примере в качестве разрешающего элемента мы выбирали элементы главной диагонали исходной матрицы. Но совершенно очевидно, что возможны и другие варианты.
На рисунке изображены несколько схем реализации метода Гаусса для матрицы размерности 3 x 3 :
Выбор разрешающего элемента влияет на точность вычислений. Это утверждение легко проверить, если разрешить некую систему уравнений методом Гаусса по различным схемам выбора разрешающего элемента и сравнить значения невязки, которые получаются в каждом случае.
В том случае, когда нам нужно решить несколько однотипных систем линейных уравнений, возникает естественное желание неким образом автоматизировать данный процесс. Для этого рекомендуется создать макрос решения системы уравнений методом Гаусса с пустой исходной таблицей. После выполнения макроса исходную таблицу можно заполнять различными начальными данными и результаты вычислений фиксировать на отдельном листе.
Ï ð è ì å ð 2. Составить макрос для решения методом Гаусса системы линейных уравнений размерности 4 x 4.
Р е ш е н и е .
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A0 |
|
Исходная |
|
|
|
|
|
|
|
матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A0 |
|
Шаг 1 |
|
=A3/$A$3 |
=B3/$A$3 |
=C3/$A$3 |
=D3/$A$3 |
=E3/$A$3 |
|
|
|
=A4-A10*$A$4 |
=B4-B10*$A$4 |
=C4-C10*$A$4 |
=D4-D10*$A$4 |
=E4-E10*$A$4 |
|
|
|
=A5-A10*$A$5 |
=B5-B10*$A$5 |
=C5-C10*$A$5 |
=D5-D10*$A$5 |
=E5-E10*$A$5 |
|
|
|
=A6-A10*$A$6 |
=B6-B10*$A$6 |
=C6-C10*$A$6 |
=D6-D10*$A$6 |
=E6-E10*$A$6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A0 |
|
Шаг 2 |
|
=A10-A18*$B$10 |
=B10-B18*$B$10 |
=C10-C18*$B$10 |
=D10-D18*$B$10 |
=E10-E18*$B$10 |
|
|
|
=A11/$B$11 |
=B11/$B$11 |
=C11/$B$11 |
=D11/$B$11 |
=E11/$B$11 |
|
|
|
=A12-A18*$B$12 |
=B12-B18*$B$12 |
=C12-C18*$B$12 |
=D12-D18*$B$12 |
=E12-E18*$B$12 |
|
|
|
=A13-A18*$B$13 |
=B13-B18*$B$13 |
=C13-C18*$B$13 |
=D13-D18*$B$13 |
=E13-E18*$B$13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A0 |
|
Шаг 3 |
|
=A17-A26*$C$17 |
=B17-B26*$C$17 |
=C17-C26*$C$17 |
=D17-D26*$C$17 |
=E17-E26*$C$17 |
|
|
|
=A18-A26*$C$18 |
=B18-B26*$C$18 |
=C18-C26*$C$18 |
=D18-D26*$C$18 |
=E18-E26*$C$18 |
|
|
|
=A19/$C$19 |
=B19/$C$19 |
=C19/$C$19 |
=D19/$C$19 |
=E19/$C$19 |
|
|
|
=A20-A26*$C$20 |
=B20-B26*$C$20 |
=C20-C26*$C$20 |
=D20-D26*$C$20 |
=E20-E26*$C$20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A0 |
|
Шаг 4 |
|
=A24-A34*$D$24 |
=B24-B34*$D$24 |
=C24-C34*$D$24 |
=D24-D34*$D$24 |
=E24-E34*$D$24 |
|
|
|
=A25-A34*$D$25 |
=B25-B34*$D$25 |
=C25-C34*$D$25 |
=D25-D34*$D$25 |
=E25-E34*$D$25 |
|
|
|
=A26-A34*$D$26 |
=B26-B34*$D$26 |
=C26-C34*$D$26 |
=D26-D34*$D$26 |
=E26-E34*$D$26 |
|
|
|
=A27/$D$27 |
=B27/$D$27 |
=C27/$D$27 |
=D27/$D$27 |
=E27/$D$27 |
|
|
|
Полученный результат |
|
|
|
|
||
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
|
|
|
|
=E31 |
=E32 |
=E33 |
=E34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценка точности вычислений |
|
|
|
|
||
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
SUM |
A0 |
(A0-SUM)^2 |
|
=A17*$A$38 |
=B17*$A$38 |
=C17*$A$38 |
=D17*$A$38 |
=СУММ(A42:D42) |
=E3 |
=(F42-E42)^2 |
|
=A18*$B$38 |
=B18*$B$38 |
=C18*$B$38 |
=D18*$B$38 |
=СУММ(A43:D43) |
=E4 |
=(F43-E43)^2 |
|
=A19*$C$38 |
=B19*$C$38 |
=C19*$C$38 |
=D19*$C$38 |
=СУММ(A44:D44) |
=E5 |
=(F44-E44)^2 |
|
=A20*$D$38 |
=B20*$D$38 |
=C20*$D$38 |
=D20*$D$38 |
=СУММ(A45:D45) |
=E6 |
=(F45-E45)^2 |
|
|
|
|
Величина невязки: |
R(x) |
=СУММ(G42:G45) |
|