Правило знаков для изгибающего момента м

Изгибающий момент считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по часовой стрелке, а справа – против часовой стрелки.

Можно использовать следующее правило:

изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз, т.е. он вызывает растяжение нижних волокон, и отрицательным, если балка изгибается выпуклостью вверх и происходит сжатие нижних волокон.

Между М, Q, q – соблюдаются дифференциальные зависимости: первая производная от поперечной силы по абциссе текущего сечения х равна интенсивности распределенной нагрузки и первая производная от изгибающего момента по абциссе текущего сечения х равна величине поперечной силы

, .

Выводы из дифференциальных зависимостей

1. Тангенс угла наклона, образованного осью х и касательной к эпюре поперечных сил, в данной точке равен интенсивности распределенной нагрузки:

.

2. Тангенс угла наклона, образованного осью Х и касательной к эпюре М, в данной точке равен величине поперечных сил в данной точке:

.

3. Если на участке балки:

– поперечная сила больше нуля, то изгибающий момент возрастает слева на право;

– поперечная сила меньше нуля, то изгибающий момент убывает слева на право;

– поперечная сила меняет знак с «+» на «-», то на эпюре изгибающего момента имеем максимум – М_max;

– поперечная сила меняет знак с «-» на «+», то на эпюре изгибающего момента имеем минимум - M_min;

– если поперечная сила равна нулю, то на этом участке имеем чистый изгиб, а величина изгибающего момента постоянна.

4. Если на участке балки интенсивность распределения нагрузки q равна нулю, то эпюра поперечной силы ограничена прямой, параллельной оси, а эпюра изгибающего момента ограничена прямой, наклоненной к оси.

5. Если на участке балки интенсивность распределенной нагрузки q постоянна по величине, то эпюра поперечной силы ограничена прямой, наклоненной к оси х, а эпюра М ограничена квадратной параболой, выгнутой в сторону действия распределенной нагрузки, при построении эпюры изгибающих моментов со стороны растянутых волокон.

6. Под сосредоточенной силой на эпюре Q имеем скачок на величину этой силы, а на эпюре М имеем излом в сторону действия этой силы.

7. Под сосредоточенным внешним моментом на эпюре М имеем скачок на величину этого момента, а на эпюре Q это непосредственно не отражается.

8. В шарнирах изгибающий момент равен нулю, если там не приложены внешние пары сил.

Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе

Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону, и для произвольной точки поперечного сечения балки при изгибе определяется по формуле

,

где М_z – изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сечении;

у – расстояние рассматриваемой точки сечения до нейтральной оси;

I_z – момент инерции сечения относительно нейтральной оси z.

Касательные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки при изгибе определяется по формуле Журавского:

,

где – статический момент отсеченной части, вычисленной относительно

главной центральной оси z;

b_y – ширина сечения по линии обреза m−n, проходящей через точку в которой определяется напряжение.

Максимальные нормальные напряжения в сечении балки при изгибе определяется по формуле:

,

где – осевой момент сопротивления сечения относительно оси z,

y_max – расстояние от нейтральной оси z до наиболее удаленных волокон.

Условия прочности при поперечном изгибе имеют вид:

при расчете по допускаемым напряжениям:

;

;

при расчете по предельному состоянию:

;

.