2.1.3. Операторный метод исследования переходных процессов
В математическом анализе для решения дифференциальных уравнений широко применяется операторный метод с использованием преобразования Лапласа.
Интегралом Лапласа называют выражение:
(85)
где
f(t)
- функция действительного переменного
t,
0
t<
,
интегрируемая на любом промежутке в
смысле Лебега,
-
комплексное число.
Функцию f(t) называют оригиналом, функцию F(p) – изображением
F(p)
f(t)
(86)
Для определения изображения пользуются непосредственно выражением интеграла Лапласа, основными свойствами и теоремами преобразования Лапласа, таблицами интегральных преобразований. Рассмотрим связь между изображениями для напряжений и токов на элементах электрической цепи.
На резисторе напряжение и ток связаны соотношением:
u(t) = r i(t)
Применяя преобразование Лапласа для изображений, получим
U(p) = R I(p) (87)
На индуктивности напряжение
UL
= L
Выражение для изображений с учетом того, что
будет иметь вид:
UL(p) = L p I(p)-L i(0) (88)
На емкости напряжение
Поскольку
преобразование Лапласа применимо к
функциям, определенным на интервале (0
t),
и принимающим значение, равное 0 при
t<0,
для применения преобразования Лапласа
выражение для uc
запишем в виде:
Изображение для uc с учетом того, что
запишется в виде:
(89)
В
соответствии с выражениями (87), (88), (89)
могут быть составлены схемы замещения
для изображений. Резистор замещается
операторным сопротивлением R
, индуктивность – операторным
сопротивлением Lp
и операторной ЭДС Li(0),
емкость – операторным сопротивлением
и
ЭДС
.(рис.15).
Законы Кирхгофа в операторной форме
Первый закон Кирхгофа с применением преобразования Лапласа записывается следующим образом:
(90)
Рис.15. Схема электрической цепи и
операторная схема замещения
Второй
закон Кирхгофа для контура, содержащего
n
ветвей, в операторной форме имеет вид:
,
(91)
где Ек(p), Iк(p) – изображение алгебраической суммы ЭДС и тока к-ой ветви,
iк(0), ucк(0) - начальные значения тока в ветви с индуктивностью и напряжения на емкости,
Zк(p) - операторное сопротивление к-ой ветви.
3. Пример расчета
ДАНО: e2=E2sin
t
e3=E3sin
t
E2m = 200В
E3m = 300В
=
314 рад/с
R1 = 10 Oм
R2 = 20 Oм
R3 = 30 Oм
L3 = 100 мГн.
РАССЧИТАТЬ: Ток i3(t) и напряжение u3(t) и построить графики их изменения во времени при размыкании ключа S2’.
3.1. Расчет классическим методом
Для (m-n+1) независимых контуров рассчитываемой цепи, где m – число ветвей, n – число узлов, составляют систему уравнений по законам Кирхгофа, обозначая токи и ЭДС мгновенными значениями.
На активных элементах падение напряжения цепи выражают как
,
На индуктивных элементах падение напряжения цепи выражают как
,
На емкостных элементах падение напряжения цепи выражают как
Для упрощения решения заменяют операцию дифференцирования на операцию умножения.
,
а операцию интегрирования – на операцию деления
Решают полученную систему уравнений относительно искомого тока. При этом свободную составляющую тока определяют как общее решение однородного дифференциального уравнения, для чего составляют соответствующие характеристическое уравнение, находят его корни и записывают свободную составляющую тока в виде:
,
где к -
номер тока, m – номер
корня, Акm
– произвольная постоянная, которая
определяется из начальных условий в
момент t=0 через
и т. д. ( в зависимости от степени
дифференциального уравнения),
- корень характеристического уравнения.
Установившуюся составляющую искомого тока iк уст определяют из схемы после окончания переходного процесса любым известным методом. Тогда полный искомый ток
Для определения Акm
составляют систему уравнений
,
и т.д., выражая их из системы уравнений
по законам Кирхгофа через ЭДС и токи в
момент t =(0-), и
записывают уравнение тока iк(t)
в явном виде.
При необходимости составления уравнений для uL и uC их выражают через уравнения тока по известным соотношениям:
Рассчитаем ток i3 методом контурных токов. Токи i11 и i22 – контурные. Контурный ток i22 – равен току i3, который необходимо определить.
|
Контурные ЭДС е11 = - е2 е22 = е2 – е3 Общее сопротивление контуров R12 = R2 |
Собственные сопротивления контуров: R11 = R1 + R2 R22 = R2 + R3 |
Контур II
содержит катушку индуктивности L3,
падение напряжения на которой равно
Рис. 16. Расчётная схема после коммутации.
По II закону Кирхгофа:
Заменим
Так как необходимо найти ток i3, а он равен контурному току i22, из системы (*) выразим ток i22.
Умножим первое уравнение на R2, а второе на (R1+R2) и сложим
Получим дифференциальное уравнение 1-го порядка:
Определим численные значения коэффициентов а и b:
Гн.Ом
Ом2
Найдем свободную составляющую тока i22 как общее решение соответствующего однородного уравнения:
Cоставим характеристическое уравнение и найдем его корни:
Тогда решение однородного уравнения запишется в виде:
Установившуюся
составляющую тока
определим из той же исходной схемы,
рассчитав ее методом наложения.
Составляем 1-ю частную схему, оставляя в ней источник ЭДС е3, а е2 замыкаем накоротко (рис. 17).
Ом
Эквивалентное сопротивление полученной цепи относительно е3 рассчитаем по формуле:
Ом
А
е3
Рис. 17. Первая частная схема
Тогда
уравнение частного тока i'3
будет иметь вид:
Угол
- начальная фаза тока i'3..
Угол
взят со знаком «-» в соответствии с
характером цепи. Угол
определим из треугольника сопротивлений
(рис. 18).
R XL3
Z
Рис. 18. Треугольник сопротивлений первой частной схемы
Итак, частный ток:
С
оставляем
2-ю частную схему, оставляя в ней источник
ЭДС е2, а е3
замкнем накоротко.
Рис. 19. Вторая частная схема
Рассчитаем эквивалентное сопротивление цепи относительно е2:
Определим ток в средней ветви:
Ток i3 находим как сумму частичных токов i3' и i3''. Учитывая направление частичных токов, получаем:
Это
и будет установившееся состояние тока
i3, т.е.
Общий ток i3 будет равен сумме свободной и установившейся составляющим, т.е.
Для определения коэффициента А необходимо задать начальные условия. Так как исходное дифференциальное уравнение 1-й степени, то достаточно задать только значение тока i3 в начальный момент времени.
Для этого рассчитаем ток i3 до начала переходного процесса, т.е. когда ключ S2’ замкнут.
Данный ток уже был рассчитан выше как 1-й частичный ток в методе наложения. Результатом было следующее выражение:
В момент времени t=0 этот ток будет равен:
Итак, начальное условие:
Рис.20. Схема до коммутации
Определяем коэффициент А:
Так как контурный ток i22 равен току в 3-й ветви, то
Напряжение на катушке индуктивности определяется по формуле:
