Решение интегральных уравнений
Интегральными уравнениями называют такие уравнения, в которых неизвестная функция y(t) стоит под знаком интеграла.
В некоторых случаях такие уравнения также могут быть решены средствами операционного исчисления. К таким уравнениям относятся, например, уравнения Вольтерра первого и второго рода, имеющие соответственно вид
, (
20 )
. (
21 )
Интеграл,
стоящий здесь, представляет собой сверку
функций g(t)
и y(t),
что облегчает решение этих интегральных
уравнений операционным методом. Пусть
и
.
Пользуясь свойствами умножения
изображений и линейностью, получим
изображающие уравнения
,
.
Отсюда находим неизвестное изображение F(p)
, 
,
по которому восстанавливаем искомую функцию y(t).
Пр.
22 Решить интегральное уравнение
.
Решение.
Левая часть уравнения есть свертка
функций y(t)
=: F(p)
и
=:
.
Учитываем, что t
=:
,
и переходим к изображению уравнения.
F(p)
=
F(p)
=
=
=: 1- t
= y(t)
– решение уравнения.
Проверка:
=
=
(-1 +
)
- (-1 - t
+
)
= t
.
Устные экзаменационные вопросы
-
Какие требования предъявляются к функции – оригиналу?
-
Дать определение преобразования Лапласа.
-
Почему преобразование Лапласа обладает свойством линейности?
-
Прочитать теорему подобия.
-
Прочитать теорему запаздывания.
-
Прочитать теорему смещения.
-
Теорема о дифференцировании оригинала.
-
Теорема о дифференцировании изображения.
-
Теорема об интегрировании оригинала.
-
Теорема об интегрировании изображения.
-
Определение свертки функций и её главное свойство.
-
Какое преимущество дает операционное исчисление при решении дифференциальных уравнений?
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Кафедральные, базовые, опорные конспекты лекций
Авторский коллектив: Арсланов Ф.Х. , Гарифьянов Ф.Н. , Гимадиев Р.Ш. , Григорян С.А. , Желифонов М.П. , Никитин А.С. , Хамзин А.А.
Кафедра «Высшей математики» КГЭУ
2006 г.