2.2. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

(2.28)

содержащее неизвестную функцию и ее производные в первой степени. В (2.28)

Левая часть уравнения (2.28) называется линейным дифференциальным оператором  и обозначается через

Поэтому в компактной форме уравнение (2.28) записывается так:

Если правая часть уравнения , то уравнение (2.28) принимает вид

(2.29)

и называется линейным однородным дифференциальным уравнением, в противном случае - неоднородным.

Теорема (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка).

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n - го порядка представляется в виде суммы

(2.30)

где - общее решение соответствующего линейного однородного уравнения,

- частное решение неоднородного уравнения

Полезна также следующая теорема:

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения  

может быть представлено в виде

где - общее решение соответствующего однородного уравнения- частные решения неоднородных уравнений вида

2.2.1. Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка

Теорема (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка).

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка представляется в виде линейной комбинации n линейно независимых частных решений этого уравнения:

 (2.31)

Здесь - произвольные постоянные  (заметим, чтолинейной комбинацией функций  называется сумма произведений функций на различные постоянные числа, то есть выражение вида

- частные линейно независимые решения  уравнения - такие решения, для которыхопределитель Вронского

 N линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка образуют фундаментальную систему решений этого уравнения. 

Для построения фундаментальной системы решений уравнения с постоянными коэффициентами его частные решения ищутся в виде показательных функций

(2.32)

где k - неизвестные постоянные числа. Подстановка (2.32) в дифференциальное уравнение (2.29) приводит к алгебраическому уравнению вида

 (2.33)

Алгебраическое уравнение (2.33) той же степени, что и порядок дифференциального уравнения (2.29) называется характеристическим уравнением. 

Заметим, что уравнение (2.33) получается из уравнения (2.29) формальной заменой i - ой производной числом.

Характеристическое уравнение (2.33) имеет n корней (с учетом их кратности). В зависимости от вида корней соответствующие частные линейно независимые решения будут иметь различный вид (см. таблицу 1).

Вид частных решений линейного однородного уравнения L(y)=0 в зависимости от вида корней характеристического уравнения

 

Таблица 1

	Вид корней	Вид частных решений
1	Корни действительны и различны	…………………………
2a	Комплексные корни	,
2б	Мнимые корни
3а	Кратные действительные корни	………………………………
3б	Кратные комплексные корни кратности m, кратности m	, , ……………………………………………	, , ………………………………………

 

Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n - го порядка может быть получено или методом подбора ( методом неопределенных коэффициентов ) или методом вариации произвольных постоянных.