9) Прямая и точка.

Из инвариантного свойства 3 следует, что проекции точки К (К\ К" и К'"), принадлежащей прямой а, долж­ны принадлежать соответствующим проекциям этой прямой (рис. 32), т. е.

К (= а^> К' е а',

К" е с", К'" е а'".

Если хотя бы одна проекция точки не принадлежит соответствующей проекции прямой, то эта точка не принадлежит прямой. На рис. 33 показаны точки А и В, принадлежащие прямой а, и точки С, D и Е, которые лежат вне прямой а.

Из инвариантного свойства 4 следует, что проекции точки К (К', К" и К'"), принадлежащей отрезку пря­мой АВ, делят соответствующие проекции отрезка в

том же отношении, в каком точка К делит отрезок АВ

(рис. 32), т. е.

АК ₌ т АК^ ._ А"К" _ А"'К"' _ т KB п К'В' ' К"В" К"'В"' п'

10) Взаимное положение прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве могут пересекаться, скре­щиваться и могут быть параллельны. Рассмотрим изо­бражение этих прямых на эпюре.

1. Пересекающиеся прямые. Пересекающимися пря­мыми называются прямые, имеющие одну общую точку.

Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения прямых а и Ъ есть точка К пересечения проекций этих прямых

2. Параллельные пря­мые. Параллельными пря­мыми называются прямые, пересекающиеся в несобст­венной точке (т. е. прямые, лежащие в одной плоскости

и пересекающиеся в беско­нечно удаленной точке).

3. Скрещивающиеся пря­мые. Скрещивающиеся пря­мые — это прямые, не ле­жащие в одной плоскости, это прямые, не имеющие общей точки. На эпюре (рис. 36) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпенди­куляре к оси х

4. Перпендикулярные прямые. Особый интерес с точки зрения решения за­дач начертательной геомет­рии представляют прямые перпендикулярные. Из ин­вариантного свойства 9.2 следует, что любой угол (в том числе и прямой) между двумя пересекающи­мися прямыми проецирует­ся без искажения, если обе стороны этого угла парал--лельны плоскости проекций (рис. 37),

Прямой угол по инвари­антному свойству 10 прое­цируется в натуральную ве­личину, если хотя бы одна

его сторона параллельна плоскости проекций.

11) СЛЕДЫ ПРЯМОЙ ЛИНИИ. ВИДИМОСТЬ ПРЯМЫХ.

Следом прямой линии называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций. В системе двух плос­костей проекций*^! и я₂ прямая в общем случае имеет два следа (рис. 30): горизонтальный Н (Н', Н") и фрон­тальный F (F\ F') — точки пересечения прямой соот­ветственно с горизонтальной и фронтальной плоскостя­ми проекций.

Из рис. 39 видно, что горизонтальный след прямой — это такая точка этой прямой, координата г которой равна

нулю (г = 0). Фронтальный след прямой — это точка прямой, координата у которой равна нулю (у = 0). Поль­зуясь этим правилом, нетрудно определить следы прямой на эпюре (рис. 40).

В начертательной геометрии считается, что наблю­датель расположен в первом пространственном углу на бесконечном расстоянии от плоскостей проекций, поэ­тому видимыми геометрическими фигурами будут толь­ко те, которые расположены в первом углу. Проекции этих фигур в ортогональных и аксонометрических про­екциях показываются сплошными линиями. Фигуры, расположенные в других пространственных углах, не видны наблюдателю, и их проекции показываются штриховыми линиями (рис. 39 и 40).

На рис. 41 и 42 показано определение следов и види­мости прямых аиЬ. Прямая а (рис. 41) проходит через I, II и III пространственные углы, прямая Ь (рис. 42) парал­лельна плоскости я, и расположена в I и II углах.