1) ПРЕДМЕТ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ.
изучает методы изображения пространственных геометрических фигур на плоскости и способы решения метрических и позиционных задач в пространстве по этим изображениям.
Основным методом проецирования, является ортогональное проецирование. проецирование пространственного объекта осуществляется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, перпендикулярными (ортогональными) к этим плоскостям. позволяет получить изображения (проекции), сохраняющие некоторые метрические характеристики оригинала.
В машиностроительном черчении наряду с ортогональным проецированием применяются и аксонометрические изображения, отличающиеся высокой наглядностью. В строительстве и архитектуре для изображения конструкций и сооружений широко используются проекции с числовыми отметками и перспективные проекции.
2) ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ Н/Г ВКЛАД УЧЕНЫХ.
Начертательная геометрия как наука была создана в конце XVIII века великим французским геометром и инженером Гаспаром Монжем (1746-1818).
В 1637 году французский геометр и философ Рене Декарт (1596-1650) создал метод координат и заложил основы аналитической геометрии
В XVII веке в России успешно развиваются технические чертежи, выполненные в виде планов и профилей в масштабе. И. П. Кулибина (1735-1818). В его проекте де-. ревянного арочного моста впервые были использованы ортогональные проекции (1773).
Рождение этой новой науки почти совпало с основанием в Петербурге первого в России высшего транспортного учебного заведения — Института Корпуса инженеров путей сообщения (2 декабря 1809 года).
Питомцы этого института, его профессора и ученые внесли большой вклад в развитие геометрических методов изображения,, в теорию и практику начертательной геометрии.
Ученик Монжа, создатель и первый ректор этого иститута А. А. Бетанкур (1758-1824) был и первым лектором по начертательной геометрии.
Другой ученик Монжа профессор К. и. Потье (1786-1855) издал первый в России учебник по начертательной геометрии на французском языке (1816).
С 1818 года в течение четверти века ведущим лектором по начертательной геометрии был питомец института Я. А. Севастьянов (1796-1849), который в
1821 г. издал оригинальный учебник по начертательной геометрии на русском языке.
3) Способы проецирования.
Проекцией точки А на плоскость проекций П1 называется точка А' пересечения проецирующей прямой I, проходящей через точку А, с плоскостью проекций тт, (рис. 1):.
Проекция любой геометрической фигуры есть множество проекций всех ее точек.
Центральным проецированием называется такое проецирование, при котором все проецирующие лучи исходят из одной точки S — центра проецирования (рис. 2).
Параллельным проецированием называется такое проецирование, при котором все проецирующие прямые параллельны заданному направлению s (рис. 3
Одна проекция точки не определяет положения этой точки в пространстве. Действительно, проекции А' может соответствовать бесчисленное множество точек Аи А2, А3, Ап, расположенных на проецирующей прямой / (рис. 4).
Для определения положения точки в пространстве при любом аппарате проецирования необходимо иметь две ее проекции, полученные при двух различных направлениях .
4) Инвариантные свойства параллельного проецирования.
Рассмотрим основные инвариантные свойства параллельного проецирования.
1. Проекция точки есть точка.
Это очевидно из самого определения проекции как точки пересечения проецирующей прямой с плоскостью.
2. Проекция прямой есть прямая. Все проецирующие прямые, проходящие через точки
прямой а параллельно направлению проецирования s; образуют проецирующую, или лучевую, плоскость а.
3.
5. Проекция точки пересечения прямых есть точка пересечения проекций этих прямых :
Действительно, точка К принадлежит одновременно прямым АВ и CD. По третьему инвариантному свойству проекция этой точки К' должна принадлежать проекциям этих прямых, т. е. должна являться точкой пересечения этих проекций.
6. Проекции параллельных прямых параллельны
АВ || CD => А'В' || CD'.
Лучевые плоскости а и В, проходящие через параллельные прямые АВ и CD, параллельны, так как две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. (АВ \\ II CD и АА' II СС). Но две параллельные плоскости пересекаются с третьей по параллельным прямым, следовательно, А'В' || СС.
7, Плоский многоугольник в общем случае проецируется в многоугольник с тем же числом вершин.
Исключение составляет многоугольник (плоская ломаная или кривая линия), расположенный в проецирующей (лучевой) плоскости. Такой многоугольник проецируется в прямую линию (рис. 9).
8. Прямая, параллельная направлению проецирования, проецируется в; точку.
9. Проекция плоской фигуры, параллельной плоскости проекций, конгруэнтна этой фигуре:
Следствия этого инвариантного свойства следующие.
Проекция отрезка прямой, параллельной плоскости проекций, конгруэнтна и параллельна самому отрезку:
А'В' || АВ.
9.2. Проекция угла, стороны которого параллельны плоскости проекций, конгруэнтна этому углу:
АВ \\ щ, ВС II я, => ZABC = ZA'B'C.
5) Инвариантные свойства ортогонального проецирования.
Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно (ортогонально) плоскости проекций:. s 1 пг .
Ортогональное проецирование является основным в черчении, так как обладает большой наглядностью и позволяет при определенном расположении деталей относительно плоскостей проекций сохранить некоторые линейные и угловые характеристики оригинала.
Для ортогонального проецирования справедливы все девять инвариантных свойств параллельного проецирования, рассмотренные выше. Кроме того, необходимо отметить еще одно, десятое, инвариантное свойство, которое справедливо только для ортогонального проецирования.
10. Если хотя бы одна, сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения (рис. 11):
ZABC = 90°, АВ II я, ZA'B'C = ZABC = 90°.