![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Глава I. Основы линейной алгебры
- •1. Матрицы и действия над ними
- •2. Определители второго и третьего порядка. Обратная матрица
- •3. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Формулы Крамера
- •3.2 Матричный способ решения системы линейных алгебраических уравнений
- •4. Метод Гаусса решения произвольных систем линейных алгебраических уравнений
- •5. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа
- •1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •2. Аналитическая геометрия на плоскости
- •3. Линии второго порядка
- •4. Полярная система координат
- •5. Комплексные числа
- •Найдем теперь все корни уравнения , откуда Тригонометрическая форма комплексного числа - имеет вид: .
- •Глава 3. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Предел функции
- •Непрерывность функции
- •Дифференцирование функций
- •Исследование функций
- •Задачи для контрольных работ Контрольная работа №1 Основы линейной алгебры
- •Контрольная работа №2 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа
- •Контрольная работа № 3 Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
2. Аналитическая геометрия на плоскости
Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид
,
где
.
Вектор
,
перпендикулярный прямой, называется
нормальным
вектором прямой на плоскости.
Уравнение вида
,
где
,
,
,
называется уравнением
прямой с
угловым коэффициентом.
Уравнение прямой,
проходящей через данную точку
с заданным
угловым коэффициентом,
имеет вид:
.
Угол между прямыми
,
определяется
следующим образом:
.
Задание 2.
Даны уравнения двух высот треугольника
и
,
и одна из вершин
.
Составить уравнения сторон треугольника.
Сделать чертеж.
Решение.
По условию задачи нам известны:
,
CD:
и BE:
.
Определим уравнение стороны AB.
Высота CD
перпендикулярна стороне AB,
а потому их угловые коэффициенты
и
удовлетворяют условию:
.
Из уравнения прямой CD
следует, что
.
Тогда
.
Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом:
.
Подставив в это
уравнение координаты точки А и угловой
коэффициент
,получим
уравнение стороны АВ:
или
.
Аналогично можно
получить и уравнение стороны АС.
Действительно, в силу перпендикулярности
ВЕ и АС имеем:
.
Из уравнения высоты ВЕ следует, что
.
Тогда
.
Следовательно, подставив в уравнение
прямой, проходящей через данную точку
с заданным угловым коэффициентом,
координаты точки А
и угловой коэффициент
,
получим уравнение стороны АС:
или
.
Теперь составим уравнение стороны ВС. Для этого определим координаты вершин В и С треугольника АВС. Координаты точки В можно определить из условия пересечения прямых АВ и ВЕ:
.
Решение полученной
системы и есть координаты вершины,
а именно
.
Таким же образом определяем координаты точки С:
и тогда С.
Уравнение прямой, проходящей через точки В и С, имеет вид :
,
где B,
C
.
Подставив координаты точек В и С в данное уравнение, получим уравнение стороны ВС:
или
.
Сделаем теперь чертеж:
3. Линии второго порядка
К линиям второго порядка относят окружность, эллипс, гиперболу и параболу.
Каноническое
уравнение
окружности
имеет вид
,
где r- радиус окружности.
Каноническое
уравнение эллипса
имеет вид
где
.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
,
где
.
Каноническое уравнение параболы имеет вид
а)
, где
>
0 ( парабола симметрична относительно
оси
);
б)
(парабола симметрична относительно
оси
).
Задание
3. Составить уравнение линии, каждая
точка которой одинаково удалена от
точки
и прямой
.
Сделать чертеж.
Решение
Пусть М (x,
y)
– любая точка искомой линии,
-
основание перпендикуляра, опущенного
из точки
на прямую y
.
Тогда точка
имеет координаты
.
Расстояние от точки М
до прямой
есть расстояние между точками М
и N:
.
Теперь определим
расстояние между точками М
и
:
.
По условию задачи
.
Следовательно, для любой точки
справедливо равенство:
или
.
Окончательно,
.
Полученное уравнение
является уравнением параболы с вершиной
в точке
.
Действительно, сделаем замену
.
Тогда уравнение примет вид:
(каноническое уравнение параболы ).