49. Квантові ями. Густина квантових станів у квантових ямах.

Квантова яма — плоска напівпровідникова гетероструктура, в якій тонкий шар напівпровідника з вужчою забороненою зоною затиснутий між двома напівпровідниками з широкою забороненою зоною таким чином, щоб забезпечити розмірне квантування електронних рівнів.

На рисунку зображено контакт широкозонного ALGaAs та вузькозонного GaAs , для електронів, що рухаються в вузькозонному напівпровіднику границя буде грати роль потенціального бар’єру. Якщо обмежити GaAs з обох сторін то для електронів з енергіями меншими ніж E₂^’ ця система стане потенціальною ямою. В результаті електрон стає замкненим в одному напрямку що і приводить до квантування енергії поперечного руху. В той же час рух в двох інших напрямках буде вільним, тому можна сказати, що електронний газ в квантовій ямі стає двовимірним.

Квантована енергія визначається з формули: , де n — номер мінізони, m * — ефективна маса відповідної квазічастки, d — ширина квантової ями. Формула справедлива лише тоді, коли розразована енергія менша за глибину ями.

В межах однієї мінізони густина станів не залежить від енергії, але коли значення енергії перевищує енергію дна наступної мінізони, густина станів зростає стрибком.

Найбільш успішно квантові ями застосовують для виготовлення лазерів.

Для того, щоб перетворити квантову яму на лазер потрібно під’єднати її до двох контактів через які електрони можуть неперервно поступати в яму. Нехай через один контакт йдуть в зону провідності, далі скачком з зони провідності до валентної зони(випромінюючи кванти) далі з валентної зони на інший контакт.

50. Другий закон Ньютона в кристалах з трансляційною симетрією.

Трансляционная симметрия — тип симметрии, при которой свойства рассматриваемой системы не изменяются при сдвиге на определённый вектор, который называется вектором трансляции. Например, однородная среда совмещается сама с собой при сдвиге на любой вектор, поэтому для неё свойственна трансляционная симметрия.

Трансляционная симметрия свойственна также для кристаллов. В этом случае векторы трансляции не произвольны, хотя их существует бесконечное число. Среди всех векторов трансляций кристаллической решётки можно выбрать 3 линейно независимых таким образом, что любой другой вектор трансляции был бы целочисленно-линейной комбинацией этих трёх векторов. Эти три вектора составляют базис кристаллической решётки.

Теория групп показывает, что трансляционная симметрия в кристаллах совместима только с поворотами на углы θ=2π/n, где n может принимать значения 1, 2, 3, 4, 6.

При повороте на углы 180, 120, 90, 60 градусов положение атомов в кристалле не меняется. Говорят, что кристаллы имеют ось вращения n-го порядка.

Перенос в плоском четырёхмерном пространстве-времени не меняет физических законов. В теории поля трансляционная симметрии, согласно теореме Нётер, соответствует сохранению тензора энергии-импульса. В частности, чисто временные трансляции соответствуют закону сохранения энергии, а чисто пространственные сдвиги — закону сохранения импульса.

Теоре́маЭмми Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения. Так, закон сохранения энергии соответствует однородности времени, закон сохранения импульса — однородности пространства, закон сохранения момента импульса — изотропиипространства, закон сохранения электрического заряда — калибровочной симметрии и т. д.

Теорема обычно формулируется для систем, обладающих функционалом действия, и выражает собой инвариантность лагранжиана по отношению к некоторойнепрерывной группе преобразований.

Классическая механика

Каждой однопараметрической группе диффеоморфизмов g^s(q_i), сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл системы, равный

В терминах инфинитезимальных преобразований, пусть инфинитезимальное преобразование координат имеет вид

и функция Лагранжа  инвариантна относительно этих преобразований, то есть

Тогда у системы существует первый интеграл, равный

Теорему можно обобщить на случай преобразований, затрагивающих также и время, если представить её движение как зависящее от некоторого параметра τ, причем в процессе движения t = τ. Тогда из преобразований

следует первый интеграл

Теория поля

Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное иэлектромагнитное поле. А именно, пусть функция Лагранжа системы зависит от n потенциалов, зависящих, в свою очередь, от k координат. Функционал действия будет иметь вид

Пусть однопараметрическая группа g^s диффеоморфизмов пространства потенциалов сохраняет функцию Лагранжа, тогда сохраняется вектор

называемый вектором потока Нётер. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, . Смысл сохранения вектора потока Нётер в том, что

поэтому поток J через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток J через такую гиперплоскость постоянен во времени, при условии достаточно быстрого спадения поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

Зако́нсохране́нияи́мпульса (Зако́нсохране́нияколичествадвижения) утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютонаможно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, — однородность пространства.