21.11. Загасаючі електромагнітні коливання

Рис. 21.14

В § 21.7 було розглянуто незагасаючі електромагнітні коливання в контурі, що містить тільки індуктивність і ємність. У реальних умовах у контурі обов'язково присутній омічний опір, що приводить до загасання коливань. Це пов'язане з тим, що початково нагромаджена енергія в контурі поступово витрачається на виділення джоулевої теплоти.

За другим законом Кірхгофа для реального коливального контуру (рис. 21.14) можна записати

,

(21.45)

де U_R=IR — спадання напруги на омічному опорі, – падіння напруги на конденсаторі, – ЕРС самоіндукції. Беручи до уваги те, що , перетворимо вираз (21.45) до вигляду:

.

(21.46)

Рівняння (21.46) аналогічне рівнянню загасаючих механічних коливань, причому роль сили опору в ньому грає доданок .

Перепишемо рівняння (21.46) у вигляді:

де — коефіцієнт загасання, а – власна частота незагасаючих (гармонічних) коливань у контурі.

Очевидно, що заряд у контурі буде виконувати коливання за законом:

,

а — циклічна частота загасаючих коливань.

Легко бачити, що у випадку малих загасань логарифмічний декремент загасання

,

тобто значення логарифмічного декремента загасання визначається відношенням омічного R і хвильового опорів. Аналогічно обчислюється й добротність коливального контуру:

.

21.12. Вимушені коливання

Щоб коливання були незагасаючими, потрібно поповнювати втрати енергії, затраченої на роботу проти сил опору. Це можна виконати, впливаючи на систему періодично діючою силою , де  — частота, а F₀ — амплітудне значення зовнішньої сили.

Рівняння вимушених коливань дістанемо з рівнянь загасаючих коливань (21.32), записавши в правій частині замість нуля вираз для вимушуючої сили, поділений на масу:

,

(21.47)

Якщо коливальна система спочатку перебувала у спокої, то в результаті дії періодичної сили вона прийде в коливальний рух із частотою, яка дорівнює частоті вимушуючої сили і з поступово зростаючою амплітудою. Далі, коли втрати енергії на роботу проти сил опору будуть компенсуватися роботою вимушуючої сили, система буде коливатися з деякою сталою амплітудою.

Рішення диференціального рівняння (21.47) для цього випадку буде мати вигляд

,

(21.48)

Для знаходження амплітуди A і початкової фази  вимушених коливань знайдемо першу й другу похідні по x:

і разом з (21.48) підставимо в (21.47). У результаті дістанемо

.

(21.49)

Для визначення амплітуди A помножимо (21.49) на комплексно-комплексно-спряжений вираз, тобто на

.

Тоді

,

звідки

.

(21.50)

Для обчислення початкової фази вимушених коливань прирівняємо до нуля уявну частину (21.49):

,

звідки

.

(21.51)

Проаналізуємо тепер залежності амплітуди й початкової фази коливань від частоти  вимушуючої сили.

При =0 . Ця величина називається статичною амплітудою. Далі в міру зростання частоти  амплітуда спочатку зростає, а потім при    A  0, тобто при деякій частоті вимушуючої сили залежність A) буде мати максимум. Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при називається резонансом. Частота , при якій , називається резонансною.

Для знаходження резонансної частоти зауважимо, що амплітуда вимушених коливань досягає максимального значення, коли підкореневий вираз в (21.50) мінімальний. У мінімумі перша похідна дорівнює нулю:

,

або

,

звідки після нескладних перетворень знаходимо

,

(21.52)

Максимальне значення амплітуди вимушених коливань знайдемо, підставивши з (21.52) в (21.50):

.

(21.53)

З (21.52) видно, що резонанс завжди спостерігається при частоті, меншій, ніж частота власних коливань системи, причому по мірі зростання коефіцієнта загасання  зменшується значення як резонансної частоти, так і резонансної амплітуди (рис. 21.15).

Рис. 21.15

Як видно з формули (21.51), при , а при      . Графічна залежність  показана на рис. 21.16.

Розглянемо тепер залежність швидкості системи, що виконує вимушені коливання, від частоти вимушуючої сили.

Швидкість системи в будь-який момент визначається виразом

,

Рис. 21.16

з якого видно, що амплітудне значення швидкості

.

Згідно (21.50) цей вираз можна записати у вигляді

або

.

(21.54)

Рис. 21.17

Неважко бачити, що при   0 або    швидкість v  0 і, отже, залежність v має вигляд, зображений на рис. 21.17.

Прирівнюючи до нуля похідну підкореневого виразу в (21.54), одержуємо _р  ₀, тобто максимальне значення швидкості (резонанс швидкостей) спостерігається на частоті власних коливань системи й не залежить від значення коефіцієнта загасання.

Важливою характеристикою резонансної кривої є її ширина, тобто інтервал частот  поблизу від резонансу, у межах якого A  0,7A_p. Можна показати, що ширина резонансної кривої однозначно пов'язана з коефіцієнтом загасання —   , що дозволяє визначати цей важливий параметр коливальної системи за графіком залежності A.

Дослідження коливальних систем методом збудження в них вимушених коливань і наступного вивчення резонансної кривої дозволяє (так само, як і при вивченні загасаючих коливань) визначити коефіцієнт загасання та власну частоту коливань системи.