28. Елементи молекулярної оптики

28.1. Фазова та групова швидкості світла

Розглянемо плоску монохроматичну хвилю

де k = 2/ — хвильове число.

Зафіксуємо деяке значення фази хвилі:

(28.1)

Швидкість, з якої переміщається в просторі дане значення фази, називається фазовою швидкістю. Оскільки , то з виразу (28.1) випливає, що

тобто фазова швидкість

(28.2)

У реальних умовах під монохроматичною хвилею розуміється сукупність хвиль із частотами, укладеними в більш-менш вузькому інтервалі шириною . Суперпозиція таких хвиль, що мало відрізняються одна від одної за частотою, називається групою хвиль. У результаті накладання хвиль із близькими частотами виникають биття (див. §21.8). Точка, у якій амплітуда (а виходить, і інтенсивність) групи хвиль має максимум, називається центром групи хвиль. Центр групи хвиль переміщається зі швидкістю, що називається груповою.

Розглянемо для простоти групу хвиль, що складається із двох монохроматичних хвиль із близькими частотами  і :

Результуюча хвиля E=E₁+E₂ описується рівнянням

.

Перший множник, що міститься у квадратних дужках, змінюється набагато повільніше, ніж другий, тому його можна розглядати як амплітуду. Максимальне значення амплітуди досягається, якщо

Звідси для групової швидкості одержуємо

або

(28.3)

Знайдемо зв'язок між груповою та фазовою швидкістю. Оскільки =2, то

(28.4)

Далі маємо , а оскільки , де n — показник заломлення, то

звідки

(28.5)

Підставляючи (28.4) і (28.5) в (28.3), остаточно дістанемо:

(28.6)

З (28.6) видно, що групова і фазова швидкості збігаються лише в тому випадку, коли dn/d=0, тобто показник заломлення n не залежить від частоти світлової хвилі. У загальному випадку uv, оскільки n=n().

Коло явищ, у яких спостерігається залежність показника заломлення n від частоти , називається дисперсією.

28.2. Елементарна класична теорія дисперсії

Використовуючи вираз (24.13), встановлюємо зв'язок між показником заломлення середовища та діелектричною проникністю:

Оскільки æ (формула (12.16)), де æ – діелектрична сприйнятливість речовини, то

(28.7)

Таким чином, для знаходження функції n=n() необхідно знайти залежність æ від частоти 

Оскільки світлові хвилі мають дуже високу частоту ( 10¹⁵Гц), та їх дія на атоми речовини зводиться до зміщення електронів в електричному полі світлової хвилі й появі деформаційної поляризації.

Розглянемо найпростіший випадок, коли атом має лише один електрон. Під дією світлової хвилі

(28.8)

електрон виконує вимушені коливання, рівняння яких (див. §21.12):

де амплітудне значення сили, що діє на електрон з боку електричної складової світлової хвилі,

(28.9)

m – маса електрона.

Електрон зміщується від положення рівноваги на величину x, в результаті чого атом набуває наведений дипольний момент p_e=ex. Нехай n_o — число атомів в одиниці об'єму речовини. Тоді поляризованість

(28.10)

Однак поляризованість пов'язана з напруженістю електричного поля співвідношенням (12.10). Порівнюючи (28.10) і (12.10), знаходимо діелектричну сприйнятливість

Підставимо в цей вираз величину зміщення x з (21.48) і значення E з (28.8). Після скорочення на e_it дістанемо

(28.11)

де A— амплітуда;  — початкова фаза вимушених коливань електрона.

Використовуючи формулу Ейлера (див. Математичну довідку), знайдемо дійсну частину виразу (28.11):

Таким чином,

(28.12)

Скориставшись відомою тригонометричною тотожністю

і врахувавши (21.51), дістанемо

(28.13)

Підставляючи (28.13) і (21.50) в (28.12) і враховуючи (28.9), дістанемо

(28.14)

Якщо загасання відсутнє (= 0), то

(28.15)

З виразу (28.15) видно, що в області частот _o при _o n², а в області частот _o при _o n² – (рис. 28.1,а).

Рис. 28.1

Фізично безглузді нескінченні значення n² при =_o отримані через наше припущення про відсутність загасання. Насправді 0 і функція n²( обмежена й безперервна. Графік залежності n²( при 0 показаний на рис. 28.1, б. В області частот I і Ш показник заломлення збільшується з ростом частоти. Це області нормальної дисперсії. Поблизу від частоти власних коливань електрона _об — область II показник заломлення різко зменшується зі зростанням частоти світлових хвиль — це область аномальної дисперсії. Оскільки на частотах, близьких до _про, речовина поглинає світло (див. §28.3), то область аномальної дисперсії збігається зі смугою власного поглинання речовини.

Явище дифракції лежить в основі роботи призматичних спектрофотометрів, застосовуваних для вивчення спектрів випромінювання або поглинання газів, розчинів, рідких і твердих тіл. Спектр окремої речовини, як правило, індивідуальний і відрізняється від спектра якої-небудь іншої речовини. Це дозволяє ідентифікувати досліджувану речовину, проводити кількісний і якісний аналіз різних речовин.