21.9. Додавання взаємно перпендикулярних (векторних) коливань

Нехай матеріальна точка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних коливаннях однакової частоти, описуваних рівняннями

,	(21.28)
,	(21.29)

Для знаходження траєкторії результуючого руху виключимо з рівнянь (21.28) і (21.29) час t. Для цього перетворимо ці рівняння до вигляду:

Одержали лінійну систему рівнянь відносно sin t і cos t, вирішуючи яку, знаходимо

Підставимо отримані значення sin t і cos t у тотожність sin²t+cos² t = 1. Після нескладних перетворень дістанемо

.

(21.30)

Останнє рівняння являє собою узагальнене рівняння еліпса.

Розглянемо тепер кілька частинних випадків.

1. Різниця фаз коливань, що додаються, дорівнює нулю, тобто ₂ –₂ = 0. Тоді з (21.30) випливає

.

Із здобутого виразу видно, що в цьому випадку траєкторія руху матеріальної точки являє собою пряму

,

що проходить через перший і третій квадранти (рис. 21.10, а).

2. Різниця фаз _  _  . З (21.30) випливає

,

тобто у цьому випадку траєкторія теж прямолінійна

,

але проходить через другий і четвертий квадранти (рис. 21.10, б).

3. Різниця фаз . Тоді рух буде відбуватися по еліптичній траєкторії (рис. 21.10, в)

,

віднесеної до осей координат. По такій же траєкторії буде рухатися точка, якщо , однак у цьому випадку обертання буде проходити проти годинникової стрілки.

В окремому випадку, якщо A₁ = A₂, рух буде проходити по колу.

Рис. 21.10

При будь-яких інших значеннях різниці фаз траєкторією руху буде еліпс, не зведений до осей координат (рис. 21.10, г).

Більш складні криволінійні траєкторії виникають при додаванні взаємно перпендикулярних коливань різної частоти. У тих випадках, коли відношення частот виражається раціональним числом, траєкторії являють собою замкнену криву, яку називають фігурою Ліссажу, в інших же випадках крива буде незамкненою.

Фігури Ліссажу знаходять застосування для визначення частоти й форми коливань, що додаються. Дослідження форми коливань засноване на тому, що наше око чітко вловлює найменші відхилення від прямої або еліпса, які викликаються тим, що коливання, які додаються, не мають строго синусоїдальної форми.

21.10. Загасаючі коливання

В реальних умовах у системах, які виконують коливання, завжди присутні сили опору. В результаті система поступово витрачає свою енергію на виконання роботи проти сил опору, і коливання зрештою припиняються.

Рис. 21.11

В тому випадку, коли силою опору є сила в'язкості (внутрішнього тертя), її значення визначаться виразом

,

(21.31)

де r — коефіцієнт опору, значення якого залежить від в'язкості середовища, у якій рухається коливальна система, а також від форми й розмірів системи, що рухається (рис. 21.11).

Сумарна сила, що діє на коливальну систему, буде

,

де F_пр = –kx — пружна сила.

Використовуючи другий закон Ньютона, можна записати

або

.

Останнє рівняння являє собою диференціальне рівняння загасаючих коливань, яке звичайно представляють у вигляді

,

(21.32)

де — коефіцієнт загасання; а — циклічна частота власних вільних коливань тієї ж системи при=0.

Рішення рівняння (21.32) будемо шукати у вигляді (21.3) у припущенні, що амплітуда A є спадаючою функцією від часу:

.

(21.33)

Знайдемо першу і другу похідні за часом

,	(21.34)
,	(21.35)

Далі підставимо (21.33) – (21.35) у диференціальне рівняння (21.32). Після скорочення на дістанемо

.

В останньому виразі прирівняємо до нуля дійсні та уявні частини:

Re:	,	(21.36)
Im:	,	(21.37)

Розв’язуємо спочатку рівняння (21.37)

, ,
, ,
, ,	(21.38)

тобто амплітуда загасаючих коливань убуває з часом за експоненціальним законом.

Підставивши (21.38) в (21.36), дістанемо

,

звідки

,

(21.39)

тобто циклічна частота загасаючих коливань  завжди менша частоти незагасаючих власних коливань ₀ тієї ж системи.

З врахуванням (21.38) загальне рішення (21.33) представимо у вигляді

.

(21.40)

Рис. 21.12

Графік загасаючих коливань показано на рис. 21.12.

Одна з характеристик реальної коливальної системи  – логарифмічний декремент загасання, який визначається співвідношенням

,

(21.41)

де A(t) і A(t+T) — амплітуди коливань, узятих через проміжок часу, що дорівнює періоду коливань T.

Підставивши в (21.41) значення A(t) і A(t+T) з (21.38), дістанемо

.

(21.42)

У ряді випадків для характеристики реальних коливальних систем зручно використовувати параметр Q — добротність системи. За означенням добротність системи

,

(21.43)

де W(t) — повна енергія коливальної системи; W(t) — енергія, витрачена на подолання сил опору за період одного коливання.

Можна показати, що добротність і логарифмічний декремент загасання зв'язані співвідношенням

.

(21.44)

Наведений розгляд відноситься до випадку не дуже сильного загасання, точніше, коефіцієнт загасання  задовольняв умові _. Розглянемо тепер випадок, коли загасання велике, тобто >_. Тоді підкореневий вираз в (21.39) стає від’ємним, а частота  уявною:

.

У цих умовах рішення (21.40) (при ₀=0) описує аперіодичний рух:

,

графік якого зображений на рис. 21.13.

Рис. 21.13

Видно, що в будь-який момент часу x(t)>0. Це означає, що система, будучи виведеною зі стану рівноваги, повільно повертається до нього й не "перестрибує" його.

Режим коливань при =_ називається критичним. Критичний режим є граничним між загасаючими коливаннями (_) і аперіодичним рухом (>_). Критичний режим у порівнянні з іншими вигідно відрізняється тим, що в такому режимі система швидше всього повертається в положення рівноваги. Ця обставина використовується в різних вимірювальних приладах, у яких покажчик (звичайно стрілка) приладу просувається до необхідної поділки за оптимальний час (важільні ваги, стрілки електровимірювальних приладів тощо).

Загасаючі коливання використовують для визначення параметрів коливальної системи. Вимірявши експериментально частоту  (або період T) загасаючих коливань і логарифмічний декремент загасання , можна з (21.42) знайти коефіцієнт загасання , а з (21.39) — частоту власних коливань системи _0.

На закінчення відзначимо, що в механічних коливальних системах часто силою опору є сила зовнішнього (сухого) тертя, значення якої не залежить від швидкості руху. У цьому випадку наведений вище аналіз не застосовний. Не вдаючись у детальний математичний аналіз, відзначимо лише характерні риси руху таких коливальних систем.

1. Амплітуда коливань у цьому випадку убуває за лінійним законом

.

2. Частота загасаючих коливань дорівнює частоті власних коливань:  =_0.