21.8.1. Додавання гармонічних коливань із рівними частотами

Нехай складаються два скалярних гармонічних коливання з однією і тією ж частотою ₀:

.

(21.18)

Відповідно до принципу суперпозиції результуюче коливання також буде гармонічним

.

(21.19)

Тут A і  — амплітуда й початкова фаза результуючого коливання, які підлягають визначенню. Щоб розв’язати цю задачу, підставимо (21.18) в (21.19). Після скорочення на дістанемо

.

(21.20)

Зрівняємо в (21.20) дійсні та уявні частини, використовуючи формулу Ейлера (див. математичне введення):

;	(21.21)
.	(21.22)

Початкову фазу знайдемо, розділивши (21.22) на (21.21):

.

(21.23)

Результуючу амплітуду A знайдемо, якщо зведемо (21.21) і (21.22) у квадрат і складемо. Після нескладних перетворень дістанемо

.

(21.24)

Розглянемо тепер окремі випадки.

а) Початкові фази збігаються ₁=₂ (або відрізняються на 2k, k=1, 2, …).

Тоді з (21.24) випливає

,

тобто результуюча амплітуда дорівнює сумі амплітуд коливань, що складаються – відбувається взаємне посилення коливань (рис. 21.8, а).

Рис. 21.8

б) Початкові фази протилежні ₁-₂ =, 3,..., (2k+1).

Тоді з (21.24) випливає

,

тобто результуюча амплітуда дорівнює різниці амплітуд коливань, що складаються – відбувається взаємне ослаблення коливань (рис. 21.8, б).

21.8. 2 Додавання гармонічних коливань із близькими частотами. Биття

Нехай складаються два гармонічних коливання з однаковими амплітудами, однаковими початковими фазами, але з різними, хоча й близькими частотами:

,
.

Результуюче коливання

,
,	(21.25)

У виразі (21.25) перший множник

(21.26)

можна розглядати як амплітуду, що повільно міняється з часом із частотою . Другий співмножник — гармонічне коливання, частота якого значно більша частоти зміни амплітуди.

В моменти часу, що задовольняють умові

,

(21.27)

результуюча амплітуда стає максимальною:

,
.

Проміжок часу між двома послідовними сплесками амплітуди називається періодом биттів. За допомогою (21.27) знаходимо період биття T:

.

Між послідовними сплесками амплітуда результуючого коливання перетворюється на нуль. Вигляд биття показано на рис. 21.9.

Рис. 21.9

Явище биття знаходить застосування для вимірювання частоти коливань додаванням їх з еталонними коливаннями відомої частоти. Критерій рівності частот вимірюваного й еталонного коливань –- зменшення частоти биття до нуля. У ряді випадків явище биття використається також для зниження частоти коливань (наприклад, для одержання коливань звукової частоти в електромузикальних інструментах).