26. Явище дифракції

26.1. Принцип Гюйгенса-Френеля. Розрахунок дифракційної картини методом зон Френеля

Дифракцією називається явище огинання хвилею малих перешкод (звичайно порівнянних з довжиною хвилі) і проникнення її в область геометричної тіні. Дифракція світла спостерігається при поширенні світлових хвиль поблизу різких країв непрозорих або прозорих речовин, при проходженні світла через вузькі отвори та у середовищі з різкими неоднорідностями.

Якісне явище дифракції можна пояснити за допомогою принципу Гюйгенса: кожна точка хвильового фронту - це джерело вторинних сферичних хвиль, обвідна яких являє собою фронт хвилі в наступний момент часу.

Рис. 26.1

Розглянемо застосування цього принципу на прикладі дифракції світла на вузькій щілині. З рис. 26.1 видно, що поблизу країв щілини новий фронт хвилі вигинається, внаслідок чого світло заходить в область геометричної тіні, тобто спостерігається явище дифракції.

Однак принцип Гюйгенса не дає можливості відповістити на запитання, яка інтенсивність світла, що зайшло в область геометричної тіні. Для відповіді на це питання потрібно використати більш загальний принцип Гюйгенса-Френеля. У його основу покладений принцип Гюйгенса, що доповнюється принципом когерентності вторинних сферичних хвиль. З врахуванням цього принцип Гюйгенса-Френеля можна сформулювати так. Кожну точку хвильового фронту в даний момент часу можна розглядати як джерело вторинних сферичних хвиль, які когерентні і тому можуть інтерферувати між собою. Фронт хвилі в наступний момент часу знаходять як обвідну вторинних сферичних хвиль. Інтенсивність світла в даній точці визначається результатом інтерференції вторинних хвиль, що дійшли до цієї точки.

Для обчислення інтенсивності світла в якій-небудь точці простору в багатьох випадках зручно користуватися методом, розробленим Френелем (метод зон Френеля). Основна ідея цього методу полягає в тому, що фронт хвилі розбивається на зони (ділянки) так, щоб відстань від країв сусідніх зон до розглядуваної точки відрізнялася на /2.

На рис. 26.2 показаний приклад побудови зон Френеля для сферичного фронту. Фронт хвилі розсікається на окремі ділянки площинами, перпендикулярними до площини рисунка, так що

,

(26.1)

Рис. 26.2

де r_n — відстань від краю n-й зони до розглянутої точки P.

Позначимо через E_i амплітуду електричного вектора світлової хвилі, що приходить у точку P від i-ої зони. У точці P відбувається додавання коливань із амплітудами E₁, E₂, E₃, ... . З врахуванням (26.1) можна стверджувати, що сусідні зони "посилають" у точку P світлові коливання в протифазі, тому результуюча амплітуда коливань

.

(26.2)

Для знаходження знакозмінної суми (26.2) слід ввести додаткові припущення про співвідношення між амплітудами E₁, E₂, E_n, ... . Ці співвідношення залежать від вигляду хвильового фронту світлової хвилі і будуть розглянуті далі.

26.2. Дифракція сферичних хвиль (дифракція Френеля)

Рис. 26.3

1. Дифракція на малому круглому отворі. Нехай сферичний фронт досягає непрозорого екрана, у якому вирізано малий круглий отвір (рис. 26.3). Необхідно знайти інтенсивність світла в точці P, що міститься за екраном. Для простоти обмежимося випадком, коли пряма SP проходить через центр отвору.

Припустимо, що розміри отвору такі, що із точки P "видно" n зон Френеля. Тоді ряд (26.2) обривається на n-му члені:

.

(26.3)

Для обчислення суми (26.3) Френель припустив, що у випадку сферичного фронту послідовність E₁, E₂, ..., E_n — спадна арифметична прогресія, тобто

E1 > E2 >... > En

(26.4)

і, крім того, на підставі основної властивості арифметичної прогресії

Ei+1 – Ei = Ei – Ei-1.

(26.5)

Якісно співвідношення (26.4) можна обґрунтувати так. Незважаючи на те, що площі зон однакові, їхня видима площа при спостереженні із точки P убуває в міру просування від центральної зони до периферії за законом S_k = S₁cos _k, де _k — кут між нормаллю до k-й зони й напрямком на точку P. Якщо представити зони як світні смужки, то відповідним чином буде убувати й внесок кожної з наступних зон у сумарну амплітуду коливань у точці P.

З (26.5) випливає

.

(26.6)

За допомогою (26.6) легко провести підсумовування в (26.3). Результат залежить від того, парне чи непарне число зон відкрите отвором.

Нехай n — непарне число. Для визначеності візьмемо n=5. Представимо (26.3) у вигляді

.

Вирази в дужках відповідно до (26.6) дорівнюють нулю, тому

.

У загальному випадку для непарного n

.

Можна показати, що якщо відкрито парне число зон Френеля, то

.

Таким чином,

,

(26.7)

причому знак "+" береться, якщо n — непарне, і "–", якщо n — парне число.

Отже, у точці P спостерігається максимум інтенсивності, якщо відкрито непарне число зон Френеля, і мінімум, якщо відкрито парне число зон. Оскільки з ростом n амплітуда E_n убуває, то в міру збільшення діаметра отвору інтенсивність максимумів буде зменшуватися. У границі при n   (екран відсутній) E_n  0 і , а інтенсивність . Якщо ж розміри щілини такі, що відкривається лише перша зона Френеля, то в точці P спостерігається найбільш інтенсивний максимум: .

Рис. 26.4

Рис. 26.5

Якісно залежність амплітуди коливань у точці P від числа відкритих зон Френеля показана на рис. 26.4.

2. Дифракція на непрозорому круглому екрані. Нехай непрозорий круглий екран закриває k-1 перших зон Френеля, так що із точки P видно всі наступні зони, починаючи з k-ої (рис. 26.5). Амплітуда коливань у точці P

.

Представимо цю суму у вигляді

Вирази в дужках відповідно до (26.6) дорівнюють нулю, тому

.

(26.8)

Таким чином, у точці P (центрі геометричної тіні) буде спостерігатися світла пляма. Інтенсивність цієї плями убуває зі збільшенням розмірів екрана (E_k  0 при k  ), тому для досить великих екранів явище дифракції не спостерігається.